3的M次方与3的N次方末两位数相等,求M-N的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:48:49
3的M次方与3的N次方末两位数相等,求M-N的最小值
3的M次方与3的N次方末两位数相等,求M-N的最小值
3的M次方与3的N次方末两位数相等,求M-N的最小值
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
.
发现它们的个位数字分别是3,9,7,1,3,9,7,1,.周期为4.
所以M-N的最小值是4
3的n次方的末位数是以3、9、7、1变化的，所以M-N最小值是4
3^m-3^n可以被100整除，则3^(m-n)-1能被100整除。
所以3^(m-n)末两位是01。
来看3的几次方根的末两位：3,9,27,81,43,29,87,61
在看该数列的第4、9、13……项：81，61，61*3^4......
即81，61，41，21，01
经过计算，m-n是5*4=20
几点补充：
1、m-n应该为正数，...
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3^m-3^n可以被100整除，则3^(m-n)-1能被100整除。
所以3^(m-n)末两位是01。
来看3的几次方根的末两位：3,9,27,81,43,29,87,61
在看该数列的第4、9、13……项：81，61，61*3^4......
即81，61，41，21，01
经过计算，m-n是5*4=20
几点补充：
1、m-n应该为正数，否则无法做。
2、过程较简单，需要你在自己思考。
3、最好自己再算一遍，有助弄懂。
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不妨设m>n 则 等于号这里表示同余
3^m=3^n (mod 100)
3^m-3^n=0 (mod 100)
3^n(3^(m-n)-1)=0 (mod 100)
3^(m-n)-1=0 (mod 100) 可以知道 3^(m-n)-1=0 (mod 10)
若m-n=2k+1
3^(2k+1)-1=3*9^k-1=3*(-1)^k-1=0 ...
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不妨设m>n 则 等于号这里表示同余
3^m=3^n (mod 100)
3^m-3^n=0 (mod 100)
3^n(3^(m-n)-1)=0 (mod 100)
3^(m-n)-1=0 (mod 100) 可以知道 3^(m-n)-1=0 (mod 10)
若m-n=2k+1
3^(2k+1)-1=3*9^k-1=3*(-1)^k-1=0 (mod 10) 显然不可能成立
若m-n=2k
3^2k-1=9^k-1=(-1)^k-1=0 (mod 10)
所以k是偶数 设k=2p 可以知道m-n=4p
下面用枚举法
容易知道最小的p是5
所以说m-n的最小值是20
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