如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:53:52
如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC的中点,F是对角线BD上的一个动点,请你求出EF+FC的最小值
要是CF+FE的线段和最短,则作法：过C点作BD的对称点,由菱形性质得即为A点,﹙即A、C关于BD对称﹚,连接AE,交点即为F点.∴FA=FC,∴CF＋FE =AE,由∠ABC=60°,∴△ABC为等边△,∴BE=1,∴由勾股定理得AE=√3,即EF+FC的最小值=√3
取点E关于BD的对称点E'，连CE',交BD于F,
此时EF+FC==E'F+FC,
由两点之间，线段最短，得，此时EF+FC有最小值，
因为在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，
所以△ABC是等边三角形，
因为E是BC的中点，
所以CE'是高，
解得，CE'=√3，
所以EF+FC的最小值为√3...
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取点E关于BD的对称点E'，连CE',交BD于F,
此时EF+FC==E'F+FC,
由两点之间，线段最短，得，此时EF+FC有最小值，
因为在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°，
所以△ABC是等边三角形，
因为E是BC的中点，
所以CE'是高，
解得，CE'=√3，
所以EF+FC的最小值为√3
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应该是当FE⊥BC时为最小，
当FE⊥BC时，BE=CE, 所以△BFC为等腰三角形，FC=BF
∠CBF=1/2*∠ABC=1/2*60°=30°,
所以FC=BF=2EF
在直角三角形BEF中，BF^2-EF^2=BE^2
BE=1/2BC=1/2AB=1/2*2=1
则（2EF)^2-EF^2=1
解之得EF=√3/3
则FC=2√3/3
EF+FC=√3/3+2√3/3=√3
EF+FC最小值为2
因为 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以∠BAD=120° 所以AB=BC=CD=DA=CA=60° 因为E是BC中点，所以当F在B或D点上时EF+FC=3，当F在对角线的交点上时，EF+FC=2.
由B到对角线交点移动或D到对角线交点时，其值越来越小到交点是最小值2
因为ABCD为菱形，所以：对角线AC、BD互相垂直平分
即，A、C两点关于BD对称
连接AE，设AE与BD的交点为F
则此时EF+FC最小
【因为A、C两点关于BD对称，即BD为AC的垂直平分线
那么，BD上任意一点到A、C两点的距离相等
所以，FC=FA
则，EF+FC=EF+FA
那么，当E、F、A三点在同一直线上...
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因为ABCD为菱形，所以：对角线AC、BD互相垂直平分
即，A、C两点关于BD对称
连接AE，设AE与BD的交点为F
则此时EF+FC最小
【因为A、C两点关于BD对称，即BD为AC的垂直平分线
那么，BD上任意一点到A、C两点的距离相等
所以，FC=FA
则，EF+FC=EF+FA
那么，当E、F、A三点在同一直线上时，其值最小】
此时最小值为EF+FC=EF+FA=EA
已知ABCD为菱形，且∠B=60°
所以，△ABC为等边三角形
已知点E为BC中点
所以，AE⊥BC
那么，△ABE为直角三角形
其中，AB=2，∠ABE=60°
所以，AE=2*(√3/2)=√3
即，EF+FC的最小值为√3
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