四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=120°,M为BC上一点,N为CD上一点,求证:若三角形AMN有一个内角=60°,则则△AMN是正三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 05:28:42
四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=120°,M为BC上一点,N为CD上一点,求证:若三角形AMN有一个内角=60°,则则△AMN是正三角形.
四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=120°,M为BC上一点,N为CD上一点,求证:若三角形AMN有一个内角=60°,则
则△AMN是正三角形.
四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=120°,M为BC上一点,N为CD上一点,求证:若三角形AMN有一个内角=60°,则则△AMN是正三角形.
解证：如图,在四边形ABCD中,
∵AB=BC=CD=DA
∴ 四边形ABCD是菱形
又∵ ∠BAD=120°
∴∠BCD=120° ∠B=∠D=60°
连AC,则,∠BAC=∠DAC=60°,∠BCA=∠DCA=60°, AC=AB=AD
1、如图1：如果 ∠MAN=60°, 则,∠MAC+∠CAN=60°
∵ ∠BAC=60°
∴ ∠BAM+∠MAC=60°
∴ ∠BAM=∠CAN
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
∴ △ABM ≌△ACN
∴ AM=AN
∴△AMN是正三角形
2、如图2：如果 ∠AMN=60°, 则,∠AMC=∠B+∠1=60°+∠1
∵ ∠AMC=60° +∠2
∴ ∠1=∠2
又∵ ∠AMN=∠ACN=60°
∴ A、M、C、N 四点共圆
∴ ∠2=∠3
∴ ∠1=∠3
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
∴ △ABM ≌△ACN
∴ AM=AN
∴△AMN是正三角形
3、如图3：如果 ∠ANM=60°, 则,∠ANC=∠D+∠6=60°+∠6
∵ ∠ANC=60° +∠5
∴ ∠5=∠6
又∵ ∠ANM=∠ACM=60°
∴ A、N、C、M 四点共圆
∴ ∠4=∠5
∴ ∠4=∠6
AC=AD
∠ACM=∠D=60°
∴ △AMC ≌△AND
∴ AM=AN
∴△AMN是正三角形