如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.(2)求证:PC∥平面EBD;
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/03 04:06:23
如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.(2)求证:PC∥平面EBD;
如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.
(2)求证:PC∥平面EBD;
如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.(2)求证:PC∥平面EBD;
连接AC,BD,交点为G.
∵△CBG∽△ADG,且CB=2AD.
∴CG=2AG
在三角形PCA中,PE=2AE,CG=2AG.
∴EG‖PC.
∵EG在平面EBD内
∴PC‖平面EBD.
解析:由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB,PB⊥BC,以
BC
,
BA
,
BP
分别为x,y,
z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),D(2,2,0),
由PB⊥底面ABCD,PB⊥CD,CD⊥PD,PD∩PB...
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解析:由PB⊥底面ABCD得PB⊥AB,PB⊥BC,以
BC
,
BA
,
BP
分别为x,y,
z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),D(2,2,0),
由PB⊥底面ABCD,PB⊥CD,CD⊥PD,PD∩PB=P,CD⊥面PBD,CD⊥BD,所以△CDB为等腰直角三角形,故DB=2
2
,CB=
2
BD=4,
∴C(0,4,0),P(0,0,2),(3分)
(1)
PA
=(0,2,-2),
CD
=(-2,2,0),
∴cos<
PA
,
CD
>=
1
2
,故异面直线PA与CD所成的角为60°; (7分)
(2)
PE
=λ
EA
,∴
BE
-
BP
=λ(
BA
-
BE
),∴
BE
=
λ
1+λ
BA
+
1
1+λ
BP
,
BA
=(0,2,0),
BP
=(0,0,2),
BE
=(0,
2λ
1+λ
,
2
1+λ
),
PC
=(4,0,-2),
设面BDE的一个法向量为
n
=(x,y,z),
n•BE=0n•BD=0
∴
2λy1+λ+2z1+λ=02x+2y=0
∴
x=-yz=-λy
,
令y=1,
n
=(-1,1,-λ),
要使PC∥平面EBD,则必须有
PC
⊥
n
,∴-4+2λ=0,λ=2,所以当λ=2时PC∥平面EBD. (11分)
(3)
BC
⊥面ABE,
n
=(-1,1,-2),
BC
=(4,0,0),cos<
BC
,
n
>=-
6
6
,
∴二面角A-BE-D的平面角的余弦值为
6
6 .
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