如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F． 求证：AE=EF.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 18:25:53
如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F． 求证：AE=EF.
如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F． 求证：AE=EF.
如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F． 求证：AE=EF.
取AB中点P,则AP=CE=AB/2=BC/2,PB=PE
RT△PBE中∠EPB=∠PEB=45°
所以有∠APE=180°-45°=135°
∠FCE=∠DCB°+45=135°=∠APE
∠EAB=90°-∠AEB=180°-90°-∠AEB=∠FEC
△AEP≌△EFC
所以AE=EF
证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF。
①成立
在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
...
全部展开
①成立
在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
在△AME和 △BCF中
∠EAM=∠EHC
AM=EC
∠AME=∠ECF
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．
②成立
在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE．
∴∠ENB＝∠FCE＝45°.
∴∠ANE=∠CEF=135`
四边形ABCD是正方形，
∴AD//BE．
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠NAE＝∠CEF．
在△ANE和△ECF中
∠ANE=∠CEF
AN=CE
∠NAE=∠FCE
∴△ANE≌△ECF（ASA）．
∴AE＝EF．
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