求1～1000中不能被5,6,和8整除的整数个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 20:15:39
求1～1000中不能被5,6,和8整除的整数个数
求1～1000中不能被5,6,和8整除的整数个数
求1～1000中不能被5,6,和8整除的整数个数
1000÷5＝200 能被5整除的有200个
1000÷6＝166.7 能被6整除的有166个
1000÷8＝125 能被8整除的有125个
1000÷5÷6＝33.3 能同时被5和6整除的有33个
1000÷6÷8＝20.8 能同时被6和8整除的有20个
1000÷5÷8＝25 能同时被5和8整除的有25个
1000÷5÷6÷8＝4.1 能同时被5 6 8都整除的有4个
则1000-200-166-125+33+20+25-4＝583
答：不能被5,6,和8中任一个整除的整数个有583个
5的倍数有5、10……1000共200个
6的倍数有6、12……996共166个
8的倍数有8、16……共125个
24的倍数有24、48……984共41个
30的倍数有30、60……990共33个
40的倍数有40、80……1000共25个
120的倍数有120、240……960共8个
根据容斥原理可知，5或6或8的倍数有
（200...
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5的倍数有5、10……1000共200个
6的倍数有6、12……996共166个
8的倍数有8、16……共125个
24的倍数有24、48……984共41个
30的倍数有30、60……990共33个
40的倍数有40、80……1000共25个
120的倍数有120、240……960共8个
根据容斥原理可知，5或6或8的倍数有
（200+166+125）-（33+25+41）+8＝400（个）
不能被5或6或8中任一个整除的有1000-400＝600（个）
原理：
用A表示能被5整除集合,用B表示能被6整除集合,用C表示能被8整除集合,∣A∣表示集合A的元素个数等等,则有∣A∣=200,∣B∣=166,∣C∣=125,∣A∩B∣=33,∣B∩C∣=41,∣,∣C∩A∣=25,利用容斥原理得
∣A UB UC∣
=∣A∣+∣B∣+∣C∣-（∣A∩B∣+∣B∩C∣+∣C∩A∣）+∣A∩B∩C∣
=(200+166+125)-(33+41+25)+8＝400（个）
当计算∣A∣+∣B∣+∣C∣时,属于A∩B,B∩C,C∩A的元算了两次,故应减去1次,但减去∣A∩B∣+∣B∩C∣+∣C∩A∣时,却将属于A∩B∩C的元减了两次,故应再加上1次.
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