还是一道高数题,希望你能给予详细过程,要做一个容积为R³的长方体无盖水池,应如何选择长方体的长、宽、高,才能使它的表面积最小.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/19 08:53:29
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还是一道高数题,希望你能给予详细过程,要做一个容积为R³的长方体无盖水池,应如何选择长方体的长、宽、高,才能使它的表面积最小.
还是一道高数题,希望你能给予详细过程,
要做一个容积为R³的长方体无盖水池,应如何选择长方体的长、宽、高,才能使它的表面积最小.
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本题是条件极值问题.
设长、宽、高分别为x,y,z,则 条件为 xyz-R^3=0,构造拉格朗日函数
S=xy+2xz+2yz+λ(xyz-R^3),
S'=0,y+2z+λyz=0 (1)
S'=0,x+2z+λxz=0 (2)
S'=0,2x+2y+λxy=0 (3)
S'=0,xyz-R^3=0 (4)
因系实际问题,x与y地位完全相同,必相等,联立(1)(2)(3)(4)解得
λ=-2^{5/3)/R,x=y=2^(1/3)R,z=2^(-2/3)R ,此时其表面积最小.
长宽高x,y,z,xyz=R^3
表面积 S=xy+2yz+2xz
构造函数f=xy+2yz+2xz-c(xyz-R^3)
af/ax=y+2z-cyz=0
af/ay=x+2z-cxz=0
af/az=2y+2x-cxy=0
af/ac=xyz-R^3=0
解方程组
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