微分方程y″+(1/1-y)(y′)²=o 重点是“y″”和“(y′)²” 该怎么用微分表达

微分方程y″+(1/1-y)(y′)²=o 重点是“y″”和“(y′)²” 该怎么用微分表达
微分方程y″+(1/1-y)(y′)²=o 重点是“y″”和“(y′)²” 该怎么用微分表达

微分方程y″+(1/1-y)(y′)²=o 重点是“y″”和“(y′)²” 该怎么用微分表达
令p=y',则y''=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p*(dp/dy)
故有p*(dp/dy)=p^2/(y-1)
所以得：dp/dy=p/(y-1)
dp/p=dy/(y-1)
ln|p|=ln|y-1|+C
p=C1*(y-1)
故有dy/(y-1)=C1*dx
ln|y-1|=C1*x
y=exp(C1*x)+1或y=1-exp(C1*x);
验证结果：
1.y=exp(C1*x)+1时,
y'=C1*exp(C1*x);y''=C1^2*exp(C1*x)
所以易得结论.
2.y=1-exp(C1*x),同理易证符合.

在这里可 设 y'=p 那么 y'' =dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)
所以原 方程 变为 p(dp/dy)+(1/1-y)p2=0
那么，当 p=0时 y=c
当p不等于0时 方程变为 (dp/dy) +(p/1-y)=0 => dp/p=dy/y-1 => dp/p=d(y-1)/y-1
所以有 p=y-1 及 y'=y-1 下面的应该会了吧~