已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0),圆O：X^2+Y^2=b^2,点A,F分别是椭圆的C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点,是否存在这样的椭圆C,使得PA/PF是常数?如果存在,求离心率；如果不存在,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 07:27:42
已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0),圆O：X^2+Y^2=b^2,点A,F分别是椭圆的C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点,是否存在这样的椭圆C,使得PA/PF是常数?如果存在,求离心率；如果不存在,说明理由.
已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0),圆O：X^2+Y^2=b^2,点A,F分别是椭圆的C的左顶点和左焦点,
点P是圆O上的动点,是否存在这样的椭圆C,使得PA/PF是常数?如果存在,求离心率；如果不存在,说明理由.
已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0),圆O：X^2+Y^2=b^2,点A,F分别是椭圆的C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点,是否存在这样的椭圆C,使得PA/PF是常数?如果存在,求离心率；如果不存在,说明理由.
假设存在,A(-a,0),F(-c,0)；
设P(x,y),因为P在圆上,所以：x²+y²=b²,即：y²=b²-x²；
PA/PF为常数,即PA²/PF²为常数
PA²=(x+a)²+y²,PF²=(x+c)²+y²；
设PA²/PF²=k,k是一个大于0的常数；
即：PA²=kPF²
(x+a)²+y²=k(x+c)²+ky²
(1-k)x²+2(a-ck)x+a²-kc²=(k-1)y²
把y²=b²-x²代入,得：
(1-k)x²+2(a-ck)x+a²-kc²=(k-1)(b²-x²)
(1-k)x²+2(a-ck)x+a²-kc²=(1-k)x²+(k-1)b²
2(a-ck)x+a²-kc²-(k-1)b²=0 ①
因为k是常数,x是变量,即等式①的成立与x无关
所以,x的系数为0,即a-ck=0,得：k=a/c
此时,要使等式①成立,则a²-kc²-(k-1)b²=0
把b²=a²-c²代入,得：a²-kc²-(k-1)(a²-c²)=0
把k=a/c代入,得：a²-ac-(a/c-1)(a²-c²)=0
a²-ac-(a³/c-a²-ac+c²)=0
a²-ac-a³/c+a²+ac-c²=0
2a²-a³/c-c²=0
c²+a³/c-2a²=0
等式两边同除a²,得：c²/a²+a/c-2=0
因为c/a=e,所以,即：e²+e-2=0
(e+2)(e-1)=0
得：e=-2（舍去）,
e=1（舍去,因为椭圆离心率0
）∵PAPF是一个常数，∴当点P分别在（±b，0）时比值相等，即a-bb-c=a+bb+c，整理可得，b2=ac，
又∵b2=a2-c2，∴a2-c2-ac=0，
同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=5-12．…（
设圆上一点为（x,y）x^2+y^2=b^2
设A(-a,0),F(-c,0),则PA^2=(x+a)^2+y^2=a^2+b^2+2ax
PF^2=(x+c)^2+y^2=c^2+b^2+2cx
若PA/PF为定值，则PA^2/PF^2为定值
设PA^2/PF^2=k
(2a-2kc)x+a^2+...
全部展开
设圆上一点为（x,y）x^2+y^2=b^2
设A(-a,0),F(-c,0),则PA^2=(x+a)^2+y^2=a^2+b^2+2ax
PF^2=(x+c)^2+y^2=c^2+b^2+2cx
若PA/PF为定值，则PA^2/PF^2为定值
设PA^2/PF^2=k
(2a-2kc)x+a^2+(1-k)b^2-kc^2=0与x无关
所以a=kc ……①
a^2+(1-k)b^2-kc^2=0 ……②
把①带入②，又因为b^2=a^2-c^2
∴k^2-k-1=0
求出k值为（1+根号5）/2或（1-根号5）/2
由①可得e=1/k
∴e=(根号5-1）/2或-（根号5+1）/2（舍去）
∴e=(根号5-1）/2
收起
不存在
一楼的盟主....高手.