全部 因式分解 公式

全部 因式分解 公式
全部 因式分解 公式

全部 因式分解 公式
1．运用公式法
　　在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：
　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
　　下面再补充几个常用的公式：
　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；
　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数；
　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数．
　　运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
　　例1 分解因式：
　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；
　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2
　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
　　　　　=(a-b+c)2．
　　本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下：
　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
　　　　=(a-b+c)2
　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
　　分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
　　的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
　　这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导．
　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为
　　a3+b3+c3-3abc
　　显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立．
　　如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
　　分析 这个多项式的特点是：有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解．
　　解 因为
　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
　　所以
　　说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用．

等一下哈！！给你复制