已知函数f（x）=x^3-3ax-1,a不等于0,若f（x）在x=-1处取得极值,直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 15:16:15
已知函数f（x）=x^3-3ax-1,a不等于0,若f（x）在x=-1处取得极值,直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
已知函数f（x）=x^3-3ax-1,a不等于0,
若f（x）在x=-1处取得极值,直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
已知函数f（x）=x^3-3ax-1,a不等于0,若f（x）在x=-1处取得极值,直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
由题意,f'(x)=3x²-3a,f'(-1)=3-3a=0 ∴a=1
f(x)=x^3-3x-1
令f'(x)=3x²-3=0,得x=±1
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增
当x∈(-1,1)时,f'(x)＜0,f(x)单调递减
当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增
∴f(x)极大值为f(-1)=1,f(x)极小值为f(1)=-3
∵直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点
∴f(1)＜m＜f(-1)
即-3＜m＜1
x=-1有极致！说明a=1 再把a=1带入函数 得x=1和-1两个极点，和极值分别为-3 ，1所以-3
f'(x)=3x^2-3a, 由f（x）在x=-1处取得极值可知f'(-1)=0, 所以a=1; 由图像得当f(1)
对f(x)求导得 f'(x)=3x^2-3a
x=-1为极值 则f(-1)=3-3a=0 即a=1 f'(x)=3x^2-3
f'(x)=0 x=1或-1
当x在（-∞，-1]和 [1,+∞)时，f’(x）>0, f(x)为增函数
当x在[-1,1]时， f’(x）<0, ...
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对f(x)求导得 f'(x)=3x^2-3a
x=-1为极值 则f(-1)=3-3a=0 即a=1 f'(x)=3x^2-3
f'(x)=0 x=1或-1
当x在（-∞，-1]和 [1,+∞)时，f’(x）>0, f(x)为增函数
当x在[-1,1]时， f’(x）<0, f(x)为减函数
函数极大值为 f(-1)=1
函数极小值为 f（1）=-3
要使直线y=m与函数有三个交点，必须
f(1)
收起
f(x)=x³-3ax-1,a≠0，f´(x)=3x²-3a,
因为a≠0，所以有两种情况：
a＜0时，f´(x)＞0，f(x)在整个定义域R内单调增加；
a＞0时，令f´(x)=0，即x²=a,f'(x)有两个零点x=±√a,
x＜-√a或x＞√a,f´(x)＞0
-√a＜x＜√a，f&...
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f(x)=x³-3ax-1,a≠0，f´(x)=3x²-3a,
因为a≠0，所以有两种情况：
a＜0时，f´(x)＞0，f(x)在整个定义域R内单调增加；
a＞0时，令f´(x)=0，即x²=a,f'(x)有两个零点x=±√a,
x＜-√a或x＞√a,f´(x)＞0
-√a＜x＜√a，f´(x)＜0,
f"(√a)＞0，f"(-√a)＜0，
所以f(x)在(-∞，-√a)∪(√a，+∞)单调增加，在(-√a，√a)单调减少.
所以f(√a)为极小值，f(-√a)为极大值，
f(x)在x=-1处取得极值，所以-√a=-1，a=1，所以f(x)=x³-3x-1，
且f(1)为极小值，f(-1)为极大值，
直线y=m 与y=f（x）的图像有三个不同的交点，
所以f(1)＜m＜f(-1)
即-3＜m＜1.
收起
对f(x)求导为3*x^2-3a令其=0，a=1.代入，f(x)=x*3-3x-1
得到x的两个极值点，1和-1. 在负无穷到-1 f(x)为增函数，-1到1为减函数，1到正无穷为增函数，x=-1时，f(x)=1,x=1时，f(x)=-3，所以m的取值范围为（-3,1）