在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:51:25
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在
同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x^2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值,则f(x)在区间[1/2,2]上的最大值
先求g(x)的最小值：
g(x)=(x^+x+1)/x =x+(1/x) +1
显然,当x∈[1/2,2]时,x>0,1/x >0,g(x)可以用均值不等式（不知楼主学没学x+ 1/x这个对勾函数的性质,要是学了的话也一样可以用,其实两者本质完全相同!）得出：
当x=1/x即x=1（x=-1舍去）时,g(x)=x + 1/x +1的最小值为2√[x*(1/x)] +1 =2+1=3
即,g(x)在区间[1/2,2]上取得最小值的点是：(1,3)
根据题意,在x∈[1/2,2]上,f(x)和g(x)在同一点上取得最小值,也就是说,f(x)=x^+bx+c也在点(1,3)处取得最小值
结合f(x)是开口向上的抛物线,其在[1/2,2]上的最小值并不在两个端点处取得,由抛物线性质可知,(1,3)点必为f(x)的顶点坐标（抛物线在一个闭区间内的最值,只能在区间两点或是顶点处取得,这是显而易见的,且可直接当做结论使用!）
于是,根据抛物线顶点的横、总坐标公式可列出：
-b/(2*1)=1
(4*1*c-b^)/4*1 =3
b=-2,c=4
从而得到:f(x)=x^-2x+4
1/2与2相比较,2距离对称轴x=1的距离更远,显然,f(x)在[1/2,2]上的最大值应在x=2处取得,为f(x)max=f(2)=4