数学期初检测第19题,请详细回答,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 14:06:20
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解（1）分别求出a1,a2,a3,再求a4
证明（2）因为a(n+1)=S(n+1)-Sn=2(an+1 )--2an +2^n
所以a（n+1）-2an=2^n
又因为a1=2
所以数列｛an+1-2an｝是首项为2,公比为2的等比数列
（3）a（n+1）-2an=2^n两边同除2^n+1,得
a（n+1）/2^n+1 -an/2^n =1/2
a1/2^1=1
所以数列｛an/2^n｝是首项为1,公差为1/2的等差数列
an/2^n=n+(n^2-n)/4
an=3/4n * 2^n+n/4 * 2^n (n属于整数)
Sn=3/8n^2 * 2^n+1/8n^² * 2^n+n (n属于整数)
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a1=2 a4=(4+1)*2^(4-1)=5*8=40 全部展开 a1=2 a4=(4+1)*2^(4-1)=5*8=40 即an带入可得到Sn 收起
因为数列{an}的前n项和Sn=2an-2^n....(1)
所以S(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1)....(2)
(2)-(1)得a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
因为数列{an}的前n项和Sn=2an-2^n....(1)
所以S(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1)....(2)
(2)-(1)得a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
所以a(n+1)-2an=2^n
所以(a(n+2)-2a(n+1))/(a(n+1)-2an)=2^(n+1)/2^n=2
所以数列{a(n+1)-2an}是等比数列
因为a(n+1)-2an=2^n
两边同时除以2^(n+1)得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以数列{an/2^n}是个等差数列，公差为d=1/2
因为Sn=2an-2^n
所以S1=2a1-2^1 即a1=2a1-2^1 故a1=2
所以数列{an/2^n}的首项是a1/2^1=2/2=1
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)d=1+(n-1)/2=(n+1)/2
所以an=(n+1)×2^(n-1)