空间中五个平面最多可以把空间分成几个部分?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 10:07:30
空间中五个平面最多可以把空间分成几个部分?
空间中五个平面最多可以把空间分成几个部分?
空间中五个平面最多可以把空间分成几个部分?
空间中五个平面最多可以把空间分成26个部分
这里提到一个公式：n个平面最多把空间分成(n3+5n+6)/6份.
下面是一个简单的证明思想,楼主要不愿看就算了.
2维空间、3维空间的最大分割数及多维空间的最大分割数猜想
采用递推法猜,再用数学归纳法证明的方法求解.
先从1维空间的分割开始,1维空间是点分割线,条件是点不重合.分割数公式很简单：
Sn ＝ n + 1 < Sn 为1维空间的最大分割数,n=1,2,3…>
然后是2维空间的分割：1条直线把平面分割成2个部分,2条直线(相交)把平面分割成4个部分,3条直线(两两相交且交点无重复)把平面分割成7个部分,4条直线(两两相交且交点无重复)把平面分割成11个部分……采用回归分析法,
Pn ＝ n(n+1)/2 + 1 < Pn 为2维空间的最大分割数,n=1,2,3…>
看来3维空间的分割数公式应该是3次多项式.接着照葫芦画瓢,来推3维空间的公式,可惜本人的空间想象力有限,4个平面的情况下就想象不出了.
卡在这里无法下手,于是用google在网上查询,看看有没有其他人研究过这个问题.结果发现德国的几何学家施泰纳(J.Steiner)首先提出并解决过这个问题,这个问题已被归入现代100个经典数学问题中.可惜没有在网上找出具体的求解步骤,于是接下来的数个月力继续被这个问题折磨中……直到上个月从网上买到山西科学技术出版社的《数学的100个基本问题》一书才解脱.
仍然是先从平面推起.平面最大分割数的条件上面列过,就不重复了.现在,记n条直线把平面最大分割成Pn份,为了Pn,先设法获得它的递推公式.假设平面已经被n-1条直线最大分割成Pn-1份,接着又添加第n条直线,获得最大分割数.此时必定增加n-1个交点,而且这条新添加的直线必定穿过原来的n个部分,把这n个部分每一个都一分为二.所以,这第n条直线的添加使得原来部分平面的分数增加了n个,这样就得到了一个递推公式：
Pn ＝ Pn-1 + n
依次令n＝1,2,3,．．．,n,注意到P0＝1,把所得到的n个式子相加即为：
Pn ＝ 1 + ( 1 + 2 + 3 +…+ n ) ＝ n(n+1)/2 + 1
其次考虑空间情况.为了把空间分割成最大的分数,同样需要所给的平面满足类似的条件,即任何两个平面都相交,且没有三个以上的平面交线重合.记如此的n个平面把空间最大分割成Cn份.假设空间已经被n-1个平面最大分割成Cn-1份,接着又添加第n个平面,获得最大分割数.此时,新增加的平面和原先的平面必定产生n-1条交线,而且,任何2条交线都两两相交且交点无重复.把所有的交线投影到一个平面上,因此,新添加的这个平面所添加的n-1条交线把投影所得的平面分割成了Pn-1份.再把投影平面还原,则这Pn-1份平面部分都把它所在的原空间部分相应的分割成了两份.所以,这第n个平面的添加使得原来空间部分的份数增加了Pn-1个,于是就得到了相应的递推公式：
Cn ＝ Cn-1 + Pn-1
依次令n＝1,2,3,．．．,n,注意到C0＝P0＝1,把所得到的n个式子相加即为：
Cn ＝ 1 + ( 1 + P2 +…+ Pn-1 ) ＝ 2 +
根据正整数的方幂求和公式有：
＝n(n-1)/2,＝n(n-1)(2n-1)/6,
代入上述的Cn-1的求解公式得：
Cn ＝ 2 + n(n-1)(2n-1)/12 + n(n-1)/4 + (n+1) ＝ (n3+5n+6)/6