在x^2+y^2=4的点（x1,y1)（x1>0,y1>0),在2x-6+y=0上的点(x2,y2)求|x1-x2|+|y1-y2|的最小值,要科学的解法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:54:49
在x^2+y^2=4的点（x1,y1)（x1>0,y1>0),在2x-6+y=0上的点(x2,y2)求|x1-x2|+|y1-y2|的最小值,要科学的解法
在x^2+y^2=4的点（x1,y1)（x1>0,y1>0),在2x-6+y=0上的点(x2,y2)求|x1-x2|+|y1-y2|的最小值,要科学的解法
在x^2+y^2=4的点（x1,y1)（x1>0,y1>0),在2x-6+y=0上的点(x2,y2)求|x1-x2|+|y1-y2|的最小值,要科学的解法
首先考虑固定一点(x1,y1),求(x2,y2)使|x1-x2|+|y1-y2|最小.
代入y2 = 6-2x2得|x1-x2|+|y1-6+2x2| = |x1-x2|+2|(y1/2-3)+x2| ≥ |x1-x2|+|(y1/2-3)+x2| ≥ |y1/2-3+x1|.
右端是与x2,y2无关的常数,且等号在x2 = 3-y1/2,y2 = y1时取到,因此为最小值.
接下来就是在圆上取(x1,y1)使|y1/2-3+x1|最小.
由条件可设x1 = 2cos(t),y1 = 2sin(t),0 < t < π/2.
代入得|sin(t)+2cos(t)-3| = |√5·sin(t+θ)-3|其中θ = arccos(1/√5).
∵√5 < 3,sin(t+θ) ≤ 1,∴|√5·sin(t+θ)-3| = 3-√5·sin(t+θ) ≥ 3-√5.
等号在t = π/2-arccos(1/√5)时取到,故最小值为3-√5.
具体来说在x1 = 4/√5,y1 = 2/√5,x2 = 3-1/√5,y2 = 2/√5时取得等号 .
个人觉得用不等式 x1-x2为直角三角形一边X，y1-y2为三角形另一边Y，斜边Z大于等于2倍根号XY.因为X+Y大于等于2倍根号XY，所以题目转化为求斜边Z的最小值。即直线到圆的最小值。数字不好打，你自己算一下吧。
我试一下哈，这道题|x1-x2|+|y1-y2|>=√(|x1-x2|^2+|y1-y2|^2),转换成求线2x-6+y=0到圆x^2+y^2=4上的距离的问题了，也就是圆心(x,y)到直线距离-半径，用公式就是|(Ax+By+C)|/(√(A^2+B^2))-R 代入求出距离
我来粗略的提示一下你吧。
这其实是一个几何题。