高手再来玩玩 这个数学题.（ 我不是他舅快来）设n为任意整数,试证 ：n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:18:07
高手再来玩玩 这个数学题.（ 我不是他舅快来）设n为任意整数,试证 ：n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
高手再来玩玩 这个数学题.（ 我不是他舅快来）
设n为任意整数,试证 ：n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
高手再来玩玩 这个数学题.（ 我不是他舅快来）设n为任意整数,试证 ：n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
n(n+1)一个是奇数,一个是偶数
所以n(n+1)是偶数,能被2整除
所以n(n+1)(2n+1)可以被2整除
若n除以3余数是2,n=3k+2,则n+1=3k+3可以被3整除
若n是3的倍数,则n可以被3整除
若n除以3余数是1,n=3k+1,则2n+1=6k+3可以被3整除
所以n(n+1)(2n+1)可以被3整除
因为6=2*3且2和3互质
所以n(n+1)(2n+1)可以被6整除
2|n(n+1)
3|n(n+1)(2n+1)
这种问题也来难为人，哎......
数学归纳法证明即可
用数学归纳法.
这个简单了点…… 学过归纳法的，初中生都可以解出来。
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n(n+1)(2n+1)
=2n^3+3n^2+n
=2n^3-2n+3n^2+3n
=2(n-1)*n*(n+1)+3n*(n+1)
三个连续自然数的乘积(n-1)*n*(n+1)必是6的倍数，3n*(n+1)也是6的倍数
故...
因为n(n+1)肯定可以整除2,故只要判断n(n+1)(2n+1)能被3整除即可
假设n=3k时,那么n(n+1)(2n+1)=3k(3k+1)(6k+1),可以整除3;
当n=3k+1时,那么n(n+1)(2n+1)=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)也是可以整除三的;
而当n=3k+2时,那么n(n+1)(2n+1)=(3k+2...
全部展开
因为n(n+1)肯定可以整除2,故只要判断n(n+1)(2n+1)能被3整除即可
假设n=3k时,那么n(n+1)(2n+1)=3k(3k+1)(6k+1),可以整除3;
当n=3k+1时,那么n(n+1)(2n+1)=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)也是可以整除三的;
而当n=3k+2时,那么n(n+1)(2n+1)=(3k+2)(3k+3)(6k+5)=3(3k+2)(k+1)(6k+5),也是可以整除3的.
纵上所述 n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数
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