如图,边长为4的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4(1)求证:不论点E,F的位置如何变化,△BEF总是正三角形(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S关于X的函数解析式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/01 16:01:28
如图,边长为4的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4(1)求证:不论点E,F的位置如何变化,△BEF总是正三角形(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S关于X的函数解析式
如图,边长为4的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4
(1)求证:不论点E,F的位置如何变化,△BEF总是正三角形
(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S关于X的函数解析式
如图,边长为4的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点(与A,D不重合),F是CD上的动点,且AE+CF=4(1)求证:不论点E,F的位置如何变化,△BEF总是正三角形(2)设AE=x,△BEF的面积是S,求S关于X的函数解析式
(1)连接DB.
证明:∵∠DAB=60°,∴在菱形ABCD中,DB=AB.∠CDB=∠DAB.
且CD=4,即CF+FD=4.又AE+CF=4,∴AE=FD.
∴△DFB≌△AEB.(SAS)
∴FB=EB,且∠FBD=∠EBA.又∠DBE+∠EBA=60°.∴∠FBD+∠DBE=60°.
∴△BEF为正△.
(2)S=S菱形ABCD-(△CFB+△AEB)-△DFE.
S菱形ABCD=CA·DB÷2=8√3.
∵△DFB≌△AEB,∴S(△CFB+△AEB)=S正△CDB=4√3.
DF=AE=x,则DE=4-x.
延长FD,做过E点关于它的垂线.交于点O.
则∠EDO=60°.OE=sin∠EDO×DE=2√3-0.5√3 x.
∴S△DFE=FD×OE÷2=-0.25√3x²+√3x.
∴S=8√3-4√3+0.25√3x²-√3x.
化简得:S=0.25√3x²-√3x+4√3.