在四棱锥P-ABCD中,底面为菱形且角ABC=60度,PA垂直于平面ABCD,PA=AB=a,M为PC的中点（1）求PC与平面PAB所成角的大小（2）求二面角C-MD-B的大小

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/30 10:41:20

在四棱锥P-ABCD中,底面为菱形且角ABC=60度,PA垂直于平面ABCD,PA=AB=a,M为PC的中点（1）求PC与平面PAB所成角的大小（2）求二面角C-MD-B的大小在四棱锥P-ABCD中,

在四棱锥P-ABCD中,底面为菱形且角ABC=60度,PA垂直于平面ABCD,PA=AB=a,M为PC的中点（1）求PC与平面PAB所成角的大小（2）求二面角C-MD-B的大小
在四棱锥P-ABCD中,底面为菱形且角ABC=60度,PA垂直于平面ABCD,PA=AB=a,M为PC的中点
（1）求PC与平面PAB所成角的大小
（2）求二面角C-MD-B的大小

PA⊥平面ABCD,PA⊥AD,PA⊥AB,PA=AB=AD=a,

则△PAB和△PAD均是等腰RT△,PB=PD=√2a,

AB=BC,〈ABC=60°,△ABC是正△,S△ABC=√3a^2/4,

V三棱锥P-ABC= S△ABC*PA/3=√3a^3/12,

S△PAB=a^2/2,

设C点至平面PBC距离为d,

V三棱锥C-PAB= S△PAB*d/3= a^2d/6,

V三棱锥P-ABC= V三棱锥C-PAB,

AC=BC=a, △PAC是等腰RT△,

PC=√2a,

d=√3a/2,

设PC与平面成角为θ,sinθ=d/PC=√6/4,

θ=arcsin(√6/4),

2、取AC和BD的交点O,则O是AC中点,MO是中位线,MO‖PA,

MO⊥平面ABCD,MO⊥CO,而CO⊥BD,MO∩OD=O,

故CO⊥平面MOD,

在平面PDC中作PF⊥CD,PC=PD=√2a,

PF=√(PD^2-DF^2)= √7a/2,

S△PCD=CD*PF/2=√7a^2/4,

S△MDC= S△PCD/2=√7a^2/8,

OD=√3a/2,MO=PA/2=a/2,

S△MDO=OM*OD/2=√3a^2/8,

设二面角C-MD-B的平面角为α,

S△MDO= S△MDC*cosα,

cosα=√21/7,

α=arcos(√21/7),

二面角C-MD-B为arcos(√21/7).

（1）45度
因为PA垂直于平面ABCD，所以平面PAB垂直于平面ABCD，
菱形ABCD中，四条边相等，且已给出ABC为60度，所以在三角形ABC中，AB=BC,角ABC60度，所以三角形ABC为等边三角形，AC=AB=PA
在三角形PAC中，PA垂直且等于AC，等腰直角三角形，所以PC与平面PAB所成角45度
（2）大小为arctan（（3根号2）/3）

全部展开

收起

1）第一问很简单，过C作CF垂直于AB，垂足为F,这便得到了PC到面的垂线，arcsin四分之根六
2）第二问也不难，关键是找到方法，等体积法是一个很好的方法，用法是：这M-BCD的体积易求，从而求得了C-BDM,从而求得了C点到面BMD的垂线的长度，CM的长度易求，从而得解。至于其中的面积就用余弦定理，立体几何和圆锥曲线的题计算都比较麻烦，不要怕麻烦是学好的关键，还有这个方法很有用，用好...

全部展开

收起