数学古代趣题 能用2元1次方程解的要5道有答案更好快点

数学古代趣题 能用2元1次方程解的要5道有答案更好快点
数学古代趣题
能用2元1次方程解的要5道有答案更好快点

数学古代趣题 能用2元1次方程解的要5道有答案更好快点
【遗产分配问题】（罗马）有一位寡妇要把前夫的遗产3500元与自己的子女拆分.根据当时的法律规定,如果只有一个儿子,母亲可得到儿子应得部分的一半；如果只有一个女儿,母亲可得到相当于女儿2倍的遗产.可她生的是孪生儿女,有男孩也有女孩,根据当时的法律,应当怎样分这笔遗产呢?
【解答】设母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为X、Y、Z,依题意有
X＋Y＋Z=3500 ①
X=1/2Y ②
X=2Z ③
由②得Y=2X④,由③得Z=1/2X⑤,将④⑤代入①得,X=1000,代入④得,Y=2000,代入⑤得,Z=500.因此,母亲、儿子、女儿分得的遗产分别为1000元,2000元,500元.
【圣诞火鸡问题】(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日.圣诞节前,约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡.这些火鸡重量相差无几,因此就论只来卖.其中约翰有10只,彼得有16只,罗伯有26只.早上三人卖价相同.中午饭后,由于三人都没卖完,又要赶在天黑前回家,只好降价出售,但三人的卖价仍然相同.黄昏时,他们的火鸡全部卖完.当清点钱时,他们惊奇地发现每个人都得到56英镑.想想看,为什么?他们上、下午的售价各是多少?每人上、下午各售出多少只火鸡?
【解答】若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x,y,z只火鸡,那么下午各卖出10－x,16－y,26－z只火鸡.又若设上午售价为每只a英镑,下午售价为每只b英镑.由题意可得如下方程组：
ax＋b（10－x）=56 ①
ay＋b（16－y）=56 ②
az＋b（26－z）=56 ③
这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组.
①－③得（x－z）（a－b）=16b,④
②－③得（y－z）（a－b）=10b,⑤
④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8/5,即5x＋3z=8y.⑥
由题目条件知,0＜x＜10,0＜y＜16,0＜z＜26,经过代入⑥检验可找出,只有x=9,y=6,z=1是唯一的一组解,再把x,y,z的值代入①、②可算出a=6,b=2.因此上午售价为每只6英镑,下午每只2英镑.约翰、彼得和罗伯上午各卖出9,6,1只火鸡,下午各卖出1,10,25只火鸡.
孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟.一天鬼谷子出了这道题目：
他从2到99中选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.
孙说：我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能够确定这两个数字了.
庞说：既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.
因庞涓肯定两数不会都是质数,所以两数和不会是偶数,否则由小数的Goldbach猜想,小偶数必能分成两奇质数之和,庞涓便不能确定孙膑不知答案了.所以两数和应是奇数.此外,这两数也不会是2及一个奇质数.
孙膑从庞涓的说话,可知道两数一奇一偶.孙膑所知道的两数积,应为2^a.b的形式,其中a>0,b是奇数.如b可分解成b=cd,c>1,d>1,则答案可能是(2^a,b),(2^a.c,d)或(2^a.d,c),便仍未知答案,故此b为质数.但由上面庞涓的说话,a>1.
庞涓从孙膑的说话后,若两数和表示成2^a+b的形式是唯一,便也能得知答案.
以上推理其实并不全面,但已能得到多于一组答案.例子如下:
(4,13)
庞涓知x+y=17,x及y不能都是质数.
孙膑知xy=52,未听庞涓说话前,(x,y)可能是(2,26),(4,13).但现在知一奇一偶,只能是(4,13).
庞涓知(x,y)不会是(2,15)[因30=2*15=6*5=10*3],不会是(6,11)[因66=2*33=6*11=22*3],不会是(8,9)[因72=8*9=24*3],不会是(10,7)[因70=2*35=10*7=14*5],不会是(12,5)[因60=4*15=12*5=20*3],不会是(14,3)[因42=2*21=6*7=14*3],只有(4,13)孙膑才肯定知答案.
但还有其它可能,如
(16,13) 庞涓知29,孙膑知208
(4,37) 庞涓知41,孙膑知148
(16,37) 庞涓知53,孙膑知592
(16,43) 庞涓知59,孙膑知688