人教版六年级下册数学广角解读详细一点,数学广角比较难,偶看不懂,把数学广角分析的清晰点……这个“抽屉问题”主要想告诉我们什么？我看不明白，帮忙用比较俗白简练的话描述一下~

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人教版六年级下册数学广角解读
详细一点,数学广角比较难,偶看不懂,把数学广角分析的清晰点……
这个“抽屉问题”主要想告诉我们什么？我看不明白，帮忙用比较俗白简练的话描述一下~

人教版六年级下册数学广角解读详细一点,数学广角比较难,偶看不懂,把数学广角分析的清晰点……这个“抽屉问题”主要想告诉我们什么？我看不明白，帮忙用比较俗白简练的话描述一下~
．例1.

编写意图
教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境,介绍了一类较简单的“抽屉问题”.学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔,从而产生疑问,激起寻求答案的欲望.在这里,“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”,“3个文具盒”就是“3个抽屉”,这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉,总有一个抽屉至少有2个物体.

为了解释这一现象,教材呈现了两种思考方法.第一种方法是用操作的方法进行枚举.通过直观地摆铅笔,发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况（在这里,只考虑存在性问题,即把4枝铅笔不管放进哪个文具盒,都视为同一种情况）.在每一种情况中,都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔.通过罗列实验的所有结果,就可以解释前面提出的疑问.实际上,从数的分解的角度来说,这种方法相当于把4分解成三个数,共有四种情况,即（4,0,0）,（3,1,0）,（2,2,0）,（2,1,1）,每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的.第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路,即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔,3个文具盒里就放了3枝铅笔.还剩下1枝,放入任意一个文具盒,那么这个文具盒中就有2枝铅笔了.这种方法比第一种方法更为抽象,更具一般性.例如,如果要回答“为什么把（n ＋1）枝铅笔放进 n个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题,用枚举的方法就很难解释,但用“假设法”来说明就很容易了.

为了对这类“抽屉问题”有更深的理解,教材在“做一做”中安排了一个“鸽巢问题”.学生可以利用例题中的方法迁移类推,加以解释.


教学建议

由于例题中的数据较小,为学生自主探索提供了很大的空间.因此,教学时,可以放手让学生自主思考,先采用自己的方法进行“证明”,然后再进行交流.除了教材上提供的两种方法以外,还会有其他的方法（如数的分解法）,只要是合理的,都应给予鼓励.在此过程中,教师也应给予适当的指导.例如,要使学生明确,这里只需解决存在性问题就可以了.如果有的同学在枚举的时候,给三个文具盒标上序号,把（4,0,0）、（0,4,0）和（0,0,4）理解成三种不同的情况,教师应指出,在研究这一类问题时,作这样的区分是没有必要的.这样的指导有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维.

教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”.教学时,在学生自主探索的基础上,可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较,思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性,假设的方法有什么优点,使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题.学生在解决了“4枝铅笔放进3个文具盒”的问题以后,可以让学生继续思考：把5枝铅笔放进4个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔,为什么?如果把6枝铅笔放进5个文具盒,结果是否一样呢?把7枝铅笔放进6个文具盒呢?把10枝铅笔放进9个文具盒呢?把100枝铅笔放进99个文具盒呢?引导学生得出一般性的结论：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔.接着,可以继续提问：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2,多3,多4呢?引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多,这个结论都是成立的.通过这样的教学过程,有助于发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维.

2．例2.

编写意图

本例介绍了另一种类型的“抽屉问题”,即“把多于 kn个的物体任意分放进n 个空抽屉（k是正整数）,那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体.”实际上,如果设定 k=1,这类“抽屉问题”就变成了例1的形式.因此,这两类“抽屉问题”在本质上是一致的,例1只是例2的一个特例.
教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境,在操作的过程中,学生发现不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书,从而产生探究原因的愿望.学生仍然可以采用枚举的方法,把5分解成两个数,有（5,0）,（4,1）,（3,2）三种情况.在任何一种结果中,总有一个数不小于3.更具一般性的仍然是假设的方法,即先把5本书“平均分成2份”.利用有余数除法5÷2=2……1可以发现,如果每个抽屉放进2本,还剩1本.把剩下的这1本放进任何一个抽屉,该抽屉里就有3本书了.

研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后,教材又进一步提出“如果一共有7本书,9本书,情况会怎样?”的问题,让学生利用前面的方法进行类推,得出“7本书放进2个抽屉,总有一个抽屉至少放进4本书,9本书放进2个抽屉,总有一个抽屉至少放进5本书”的结论.

在此基础上,让学生观察这几个“抽屉问题”的特点,寻找规律,使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解.例如,学生可以通过观察,归纳出“要把a （a是奇数）本书放进2个抽屉,如果 a÷2=b ……1,那么总有一个抽屉至少有（b＋1）本书”的一般性结论.
教材第71页的“做一做”延续了第70页“做一做”的情境,在例2的基础上有所扩展,把 “抽屉数”变成了3,要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推.

教学建议

教学例2时,仍应鼓励学生用多样化的方法解决问题,自行总结“抽屉原理”.例如,在解决“5本书放2个抽屉”的问题时,由于数据较小,学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点,这也是学生最容易想到的方法.但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制,随着书的本数的增多,教师应该进行适当的引导.例如,可以提问学生“125本书放进2个抽屉呢?”由于数据很大,用枚举法解决就相当繁琐了,就可以促使学生自觉采用更一般的方法,即假设法.假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,剩下的书不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉比平均分得的本数多1本.这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的,需要学生借助直观,逐步理解并掌握.

当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后,教师应引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律,要把某一数量（奇数）的书放进2个抽屉,只要用这个数除以2,总有一个抽屉至少放进数量比商多1的书.例如,要把125本书放进2个抽屉,125÷2=62……1,因此,总有一个抽屉至少放进63本书.如果进一步一般化的话,就是：要把 a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c（c≠0）,那么一定有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体.这一结论与前文提到的“把多于kn 个物体任意分放进 n个空抽屉（k 是正整数）,那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体”意思是完全一致的.

学生完成“做一做”时,可以仿照例2,利用8÷3=2……2,可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子.

需要注意的是,例2中“某个抽屉至少有的书的本数”是除法算式中的商加“1”,而例2中除法算式的余数也正好是1,很容易让学生错误地理解成是商加“余数”,并迁移到“做一做”,想成至少有“2（商）＋2（余数）”,把结论变成“至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里”.事实上,只要学生从本质上理解“抽屉原理”的推理过程,就能克服这种错误理解.

3．例3.
编写意图

本例是“抽屉原理”的具体应用,也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子.要从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球,问最少需要摸出几个球.要解决这个问题,可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”.因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,“同色”就意味着“同一抽屉”.这样,就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”.假设最少要摸出a 个球, a÷2=1……b ,当b =1时, a就是最小的,此时 a=3.即至少要摸出3个球,才能保证有两个球是同色的.

教材通过三个学生的对话,指出了学生可以通过先猜测再验证的方法来解决问题,也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难.例如,本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰.

接下来,教材引导学生把这个结论进一步推广,指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1,就能保证有两个球同色.”例如,球的颜色有三种,至少要摸出四个球,才能保证摸出的球里有两个同色.教材第72页的“做一做”中第2题描述的就是这种情形.
“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子.其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类,“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同.

教学建议

教学例3时,要先引导学生思考本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系,有什么样的联系,应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么.但学生在思考这些问题的时候,一开始可能会缺乏思考的方向,很难找到切入点.此时,可以让学生先自由猜测,再验证.例如,有的学生会猜测“只摸2个球能否保证这2个球同色”,只要举出一个反例就可以推翻这种猜测,如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件.再如,由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰,许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了,即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”.为了验证这个猜测,学生会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来,把两种颜色看成两个抽屉.根据5÷2=2……1,可以知道,摸出5个球时至少有3个球同色.因此,摸出5个球是没有必要的.

在学生猜测、验证的基础上,逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个,再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理.例如,在本例中,根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多,就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球,分的物体个数至少比抽屉数多1”.现在,“抽屉数”就是“颜色数”,结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1.”因此,要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的,最少要摸出3个球.应用此结论,就可以直接解决“做一做”第2题的问题.

在教学的过程中,在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事.如果学生在理解时存在比较大的困难时,也可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种,如果只取两个球,会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球.如果再取一个球,不管是红球还是蓝球,都能保证三个球中一定有两个同色的.

完成第72页的“做一做”第1题时,要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”.因为一年中最多有366天,如果把这366天看作366个抽屉,把370个学生放进366个抽屉,人数大于抽屉数,因此总有一个抽屉里至少有两个人,即他们的生日是同一天.而一年中有12个月,如果把这12个月看作12个抽屉,把49个学生放进12个抽屉,49÷12=4……1,因此,总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人,也就是他们的生日在同一个月.

4．关于练习十二中一些习题的说明和教学建议.

第1题,可以让学生先用扑克牌操作一下,看看实验结果是否和题目所描述的一致,再对其中的原因加以思考.我们可以用抽屉原理来解释这一现象：一副扑克牌共54张,去掉2张王牌,只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色.我们把4种花色当作4个抽屉,把5张扑克牌放进4个抽屉中,必有一个抽屉至少有2张扑克牌,即至少有2张是同花色的.

第2题,相当于把41环分到5个抽屉（代表5镖）中,根据41÷5＝8……1,必有一个抽屉至少有9（即8＋1）环.

第3题中的第一个问题与例3的类型相同,只要想一共有3种颜色,至少拿出4根小棒就能保证一定有2根同色的小棒.

第4题,把两种颜色当作两个抽屉,把正方体6个面当作物体,要把6个面分配给两个抽屉,6÷2=3,至少有3个面要涂上相同的颜色.

抽屉原理的题目，首先要建立数学模型，然后用物体数除以抽屉数，只要有余数就是商加一。

抽屉问题
抽屉原则，又叫狄利克雷原则，原则一：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。原则二：把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m＋1个或者m＋1个以上的元素。抽屉原则是证明符合某种条件的对象存在性问题有力工具。应用抽屉原则解决问题的关键是如何构造抽屉。
例1：在一个大口袋中装着红、黄、绿三种玻璃球各有...

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抽屉问题
抽屉原则，又叫狄利克雷原则，原则一：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。原则二：把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m＋1个或者m＋1个以上的元素。抽屉原则是证明符合某种条件的对象存在性问题有力工具。应用抽屉原则解决问题的关键是如何构造抽屉。
例1：在一个大口袋中装着红、黄、绿三种玻璃球各有很多个。如果每次随意拿3个球，拿11次，至少有两次玻璃球颜色状况完全相同，请说明理由。
分析：所谓两次玻璃球颜色状况完全相同，是指如果有一次拿的是1黄2绿，另一次也拿的是1黄2绿，它们的颜色状况就是完全相同。怎么说明呢？这就需要造抽屉，用抽屉原则来说明。随意拿出3个球，会有不同的状况，我们把它找全，每一种颜色状况就是一个抽屉，有多少种不同的颜色状况，就有多少个抽屉。
每次拿3个球，有10种不同的颜色状况，把这10种不同的颜色状况看成10个抽屉，拿的11次看成11个物体，根据抽屉原则一，把11个物体放入10个抽屉中，一定有两个或两个以上的物体。也就是说拿11次，一定至少有两次玻璃球的颜色状况完全相同。
例2：求证1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
分析：1997年1月份共31天，为了回答上述问题，我们不妨假设1月份这31天为31个抽屉，而将1月份出生的任意32个孩子看作32个元素。根据抽屉原理一知，有一只抽屉里至少放入了两个元素。
答：1月份出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
练习：
1、求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）恰是105的倍数。
分析：由于105＝3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1、x2，使得x1－x2是7的倍数，同理x3－x4是5的倍数，x5－x6是3的倍数，题目即得证。
根据抽屉原理一，在所给的任意8个整数中，必有两个整数被7除的余数相同，不妨设这两个数为x1、x2，则有7｜（x1－x2），或表示为：x1－x2＝7k1（其中k1为不等于零的整数）。在余下的6个数中，必有两个数被5除的余数相同，不妨设这两个数为x3、x4，使得x3、x4满足：x3－x4＝5k2（k2为非零整数）。在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，不妨设这两个数为x5、x6，使得x5－x6＝3k3（k3为非零整数）。
（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）
＝7k1·5k2·3k3
＝105×整数
即：从任意给定的互异的8个整数中，一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）是105的倍数。
2、一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
分析：当摸出的两个球的颜色相同时，可以有四种不同的结果。当摸出的两个球的颜色不同时，最多可以有3＋2＋1种不同的结果。将上述10种不同的结果作为10个抽屉。
要求10次摸出的结果相同，依抽屉原理二，至少要摸9×10＋1＝91（次）。
3、 一个圆上有40条直径，在每条直径两端各填上一个数，所填数字可以从1到20中任意选。一定存在两条直径，两端点数字之和相等。
分析：我们做抽屉的方向一定是当每条直径的两端从1到20中任选数字填在上面时，会有多少种不同的和。把这些不同的和分别作为抽屉。再去与直径的条数做比较，就可以得出结论。
直径两端和最小的是2，最大的是40。因此，共有39种不同的和，把39种不同的和看成39个抽屉，直径的条数是40，大于39，所以一定存在着两条直径，两端数字之和相等。
4、能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。
分析与8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条“线”上都填有8个数字，要使各条“线”上的数字和均不相同，那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。下面我们来分析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种。如果某一条“线”上的8个数字都填上最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填上最大的数3，那么可得到数字和的最大值24。由于数字及数字和均为整数，所以从8到24共有17种不同的值。我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。根据抽屉原理一，将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入了至少两个元素。即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各数字和互不相同。
5、由6个队参加的单循环比赛（每两个队都要比赛一场），无论比赛进行到什么时候，一定存在两个队，这两个队比赛过的场次数相同。
分析：无论比赛进行到什么时候，所有比赛过的比赛过的场次从0场到5场都有可能出现。因此，就会有5个不同的抽屉。
参赛的队有6个，有5个抽屉，根据抽屉原则一，无论比

收起

．例1。

编写意图
教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个文具盒”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉...

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．例1。

编写意图
教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个文具盒”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体。

为了解释这一现象，教材呈现了两种思考方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4枝铅笔不管放进哪个文具盒，都视为同一种情况）。在每一种情况中，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路，即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。这种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。例如，如果要回答“为什么把（n ＋1）枝铅笔放进 n个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。

为了对这类“抽屉问题”有更深的理解，教材在“做一做”中安排了一个“鸽巢问题”。学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。


教学建议

由于例题中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。因此，教学时，可以放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流。除了教材上提供的两种方法以外，还会有其他的方法（如数的分解法），只要是合理的，都应给予鼓励。在此过程中，教师也应给予适当的指导。例如，要使学生明确，这里只需解决存在性问题就可以了。如果有的同学在枚举的时候，给三个文具盒标上序号，把（4，0，0）、（0，4，0）和（0，0，4）理解成三种不同的情况，教师应指出，在研究这一类问题时，作这样的区分是没有必要的。这样的指导有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维。

教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在学生自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。学生在解决了“4枝铅笔放进3个文具盒”的问题以后，可以让学生继续思考：把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，为什么？如果把6枝铅笔放进5个文具盒，结果是否一样呢？把7枝铅笔放进6个文具盒呢？把10枝铅笔放进9个文具盒呢？把100枝铅笔放进99个文具盒呢？引导学生得出一般性的结论：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。接着，可以继续提问：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2，多3，多4呢？引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。通过这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

2．例2。

编写意图

本例介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于 kn个的物体任意分放进n 个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。”实际上，如果设定 k=1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。
教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境，在操作的过程中，学生发现不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，从而产生探究原因的愿望。学生仍然可以采用枚举的方法，把5分解成两个数，有（5，0），（4，1），（3，2）三种情况。在任何一种结果中，总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法，即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2……1可以发现，如果每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。

研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“如果一共有7本书，9本书，情况会怎样？”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书，9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。

在此基础上，让学生观察这几个“抽屉问题”的特点，寻找规律，使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。例如，学生可以通过观察，归纳出“要把a （a是奇数）本书放进2个抽屉，如果 a÷2=b ……1，那么总有一个抽屉至少有（b＋1）本书”的一般性结论。
教材第71页的“做一做”延续了第70页“做一做”的情境，在例2的基础上有所扩展，把 “抽屉数”变成了3，要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推。

教学建议

教学例2时，仍应鼓励学生用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。例如，在解决“5本书放2个抽屉”的问题时，由于数据较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应该进行适当的引导。例如，可以提问学生“125本书放进2个抽屉呢？”由于数据很大，用枚举法解决就相当繁琐了，就可以促使学生自觉采用更一般的方法，即假设法。假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要学生借助直观，逐步理解并掌握。

当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，要把某一数量（奇数）的书放进2个抽屉，只要用这个数除以2，总有一个抽屉至少放进数量比商多1的书。例如，要把125本书放进2个抽屉，125÷2=62……1，因此，总有一个抽屉至少放进63本书。如果进一步一般化的话，就是：要把 a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体。这一结论与前文提到的“把多于kn 个物体任意分放进 n个空抽屉（k 是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体”意思是完全一致的。

学生完成“做一做”时，可以仿照例2，利用8÷3=2……2，可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子。

需要注意的是，例2中“某个抽屉至少有的书的本数”是除法算式中的商加“1”，而例2中除法算式的余数也正好是1，很容易让学生错误地理解成是商加“余数”，并迁移到“做一做”，想成至少有“2（商）＋2（余数）”，把结论变成“至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里”。事实上，只要学生从本质上理解“抽屉原理”的推理过程，就能克服这种错误理解。

3．例3。
编写意图

本例是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。要从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球，问最少需要摸出几个球。要解决这个问题，可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”。因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。假设最少要摸出a 个球， a÷2=1……b ，当b =1时， a就是最小的，此时 a=3。即至少要摸出3个球，才能保证有两个球是同色的。

教材通过三个学生的对话，指出了学生可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难。例如，本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰。

接下来，教材引导学生把这个结论进一步推广，指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。”例如，球的颜色有三种，至少要摸出四个球，才能保证摸出的球里有两个同色。教材第72页的“做一做”中第2题描述的就是这种情形。
“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。

教学建议

教学例3时，要先引导学生思考本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。但学生在思考这些问题的时候，一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。此时，可以让学生先自由猜测，再验证。例如，有的学生会猜测“只摸2个球能否保证这2个球同色”，只要举出一个反例就可以推翻这种猜测，如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件。再如，由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”。为了验证这个猜测，学生会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，把两种颜色看成两个抽屉。根据5÷2=2……1，可以知道，摸出5个球时至少有3个球同色。因此，摸出5个球是没有必要的。

在学生猜测、验证的基础上，逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。例如，在本例中，根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数至少比抽屉数多1”。现在，“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。”因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，最少要摸出3个球。应用此结论，就可以直接解决“做一做”第2题的问题。

在教学的过程中，在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事。如果学生在理解时存在比较大的困难时，也可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种，如果只取两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。如果再取一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。

完成第72页的“做一做”第1题时，要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12=4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。

4．关于练习十二中一些习题的说明和教学建议。

第1题，可以让学生先用扑克牌操作一下，看看实验结果是否和题目所描述的一致，再对其中的原因加以思考。我们可以用抽屉原理来解释这一现象：一副扑克牌共54张，去掉2张王牌，只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色。我们把4种花色当作4个抽屉，把5张扑克牌放进4个抽屉中，必有一个抽屉至少有2张扑克牌，即至少有2张是同花色的。

第2题，相当于把41环分到5个抽屉（代表5镖）中，根据41÷5＝8……1，必有一个抽屉至少有9（即8＋1）环。

第3题中的第一个问题与例3的类型相同，只要想一共有3种颜色，至少拿出4根小棒就能保证一定有2根同色的小棒。

第4题，把两种颜色当作两个抽屉，把正方体6个面当作物体，要把6个面分配给两个抽屉，6÷2=3，至少有3个面要涂上相同的颜色。
希望对你有用！

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