已知数列｛1/2n(2n+2)｝ （1）求S1,S2,S3; (2)猜想Sn的结果,并用数学归纳法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 11:10:32
已知数列｛1/2n(2n+2)｝ （1）求S1,S2,S3; (2)猜想Sn的结果,并用数学归纳法证明
已知数列｛1/2n(2n+2)｝ （1）求S1,S2,S3; (2)猜想Sn的结果,并用数学归纳法证明
已知数列｛1/2n(2n+2)｝ （1）求S1,S2,S3; (2)猜想Sn的结果,并用数学归纳法证明
小同学,你能提出这样的问题,证明你上高二了,刚学数学归纳法,这题最简单的方法是用裂项法,把通项拆成1/4(1/n-1/n+1)然后求和正好前后项消了.至于数归法,严格按照数归的两个步骤做就是了,很easy的.
1/2n(2n+2)=1/2[(1/2n-1/(2n+2)]
sn=1/2[1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+。。。。。。+1/2n-1/(2n+2)]
=1/2*[1/2-1/(2n+2)]
=n/[4(n+1)]
S1=1/8,s2=1/6,s3=3/16
由已知得：An=1/2[1/2n-1/(2n+2)]，则S1=1/8，S2=1/6，S3=3/16，则猜想Sn=1/2[1/2-1/(2n+2)]。然后求(1):当n=1时，成立。(2):假设当n=k时，成立，则Sk=1/2[1/2-1/(2k+2)，则当n=k+1时，S(k+1)=Sk+A(k+1)=1/2[1/2-1/(2n+4)]，将A(k+1)带入上式验证，也成立。则证毕。
(1)当n=1时1/2n(2n+2)｝=1/8 n=2时1/2n(2n+2)=1/24 n=3时1/2n(2n+2)=1/48
==》S1=1/8,s2=1/6,s3=3/16
(2)由（1）S1=1/8,s2=1/6,s3=3/16
猜想Sn=n/[4(n+1)]
数学归纳法：（1）当n=1上式显然成立
(2)假设n=k时等...
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(1)当n=1时1/2n(2n+2)｝=1/8 n=2时1/2n(2n+2)=1/24 n=3时1/2n(2n+2)=1/48
==》S1=1/8,s2=1/6,s3=3/16
(2)由（1）S1=1/8,s2=1/6,s3=3/16
猜想Sn=n/[4(n+1)]
数学归纳法：（1）当n=1上式显然成立
(2)假设n=k时等式成立Sk=k/[4(k+1)]
当n=k+1时S（k+1)=Sk+1/2(k+1)(2(k+1)+2)
=k/[4(k+1)]+1/4(k^2+3k+2)=k/[4(k+1)]+1/4(k+1)(k+2)
=(k(k+2)+1)/4(k+1)(k+2)
=(k+1)^2/4(k+1)(k+2)
=(k+1)/[4(k+2)]
综上所述得Sn=n/[4(n+1)]对任意实数n都成立
所以Sn=n/[4(n+1)]
应该就是这样吧！！！
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