怎样算一元二次方程简单 求窍门
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/14 11:43:16
怎样算一元二次方程简单 求窍门
怎样算一元二次方程简单 求窍门
怎样算一元二次方程简单 求窍门
我们知道,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）,用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0,所以,4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x1,2＝ ；
（2）当b2－4ac＝0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－ ；
（3）当b2－4ac＜0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根．
由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定,我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示．
综上所述,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）,有
（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根
x1,2＝ ；
（2）当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－ ；
（3）当Δ＜0时,方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数）,如果方程有实数根,写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0,∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0,所以方程一定有两个不等的实数根
,．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2,
所以,
①当a＝2时,Δ＝0,所以方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
②当a≠2时,Δ＞0,所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1,x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a),
所以
①当Δ＞0,即4(1－a) ＞0,即a＜1时,方程有两个不相等的实数根
,；
②当Δ＝0,即a＝1时,方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0,即a＞1时,方程没有实数根．
说明：在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问