已知f(x)定义域为R,对任意实数有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)为奇函数,在定义域内单调递增当x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 16:29:16
已知f(x)定义域为R,对任意实数有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)为奇函数,在定义域内单调递增当x
已知f(x)定义域为R,对任意实数有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)为奇函数,在定义域内单调递增
当x
已知f(x)定义域为R,对任意实数有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)为奇函数,在定义域内单调递增当x
已知f(x)定义域为R,对任意实数有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)为奇函数,在定义域内单调递增,当x0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)
f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)]+f(3+2m)>0
f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+3+2m]>0
2sinθcosθ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+3+2m>0要求对所有θ恒成立.
直接解不等式是件麻烦的事情,可以运用命题：
同单调区间内,单调函数的加减还是单调函数；
周期为T函数,加减还是周期函数,且周期为T；
θ属于[0,π/2]时
2sinθcosθ、sinθ+cosθ、1/(sinθ+cosθ)看成θ的函数时,都关于π/4对称,且在[0,π/4]为单调区间.
所以：g(θ)=2sinθcosθ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+3+2m关于π/4对称,且在[0,π/4]为单调区间.
将g(θ)=看成关于m的函数时,
g(m)=2sinθcosθ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+3+2m
因为2-(sinθ+cosθ)>0恒成立,所以：g(m)是单调递增函数.
所以,不等式成立,只要满足g(0)>0且g(π/4)>0
代入得：
g(0)=-(2+m)-4+3+2m=0,解得m>3
g(π/4)=1-√2*(2+m)-2√2+3+2m>0,解得：m>4(√2-1)/(2-√2)=2√23时,不等式就一定成立.即m的取值范围为(3,+∞).
声明一点：演算部分请自行计算，这里只给大体过程。
根据：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，
显然
f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)]+f(3+2m)
=f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+(3+2m)]>0
由于原函数为奇函数，因此
对于任意的f(-x)=-...
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声明一点：演算部分请自行计算，这里只给大体过程。
根据：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，
显然
f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)]+f(3+2m)
=f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+(3+2m)]>0
由于原函数为奇函数，因此
对于任意的f(-x)=-f(x),也就是说，f(x)=-f(-x)
那么
-f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4/(sinθ+cosθ)+(3+2m)]<0
即：f[-sin2θ+(2+m)(sinθ+cosθ)+4/(sinθ+cosθ)-(3+2m)]<0
又：x<0时，f(x)<0
因此有：-sin2θ+(2+m)(sinθ+cosθ)+4/(sinθ+cosθ)-(3+2m)<0……（*）
令sinθ+cosθ=t……………………………………………………<1>
那么t^2=sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2=1+2sinθcosθ=1+sin2θ
即sin2θ=t^2-1……………………………………………………<2>
将<1>、<2>代入（*）
化简为：(t-2)(t+m+2/t)>0
t=cosx+sinx=√2sin(x+π/4)<2
故t-2<0
因此只需要
t+m+2/t<0
当θ=0或π/2，和π/4时，t分别可以取得最小值1和最大值√2，然后解出m的范围即可。
收起
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