若二次函数f(x)=ax²+bx+c中,f(-1)=f(3)=1,且f(x)的最小值是-7,求f(x)的解析式

若二次函数f(x)=ax²+bx+c中,f(-1)=f(3)=1,且f(x)的最小值是-7,求f(x)的解析式
若二次函数f(x)=ax²+bx+c中,f(-1)=f(3)=1,且f(x)的最小值是-7,求f(x)的解析式

若二次函数f(x)=ax²+bx+c中,f(-1)=f(3)=1,且f(x)的最小值是-7,求f(x)的解析式
f(-1)=f(3)=1
所以对称轴为直线x=1 即-b/2a=1 即2a=-b
且当x=1时 F(1)=a+b+c=c-a=-7 c=a-7
因为f(-1)=a-b+c=3a+c=1
所以可解得a=2 b=-4 c=-5
所以f(x)=2x²-4x-5

f(x)=ax²+bx+c
应有a≠0
f(1)=a×1²+b×1+c=a+b+c
f(3)=a×3²+b×3+c=9a+3b+c
f(1)=f(3)=1
a+b+c=1…………………………(1)
9a+3b+c=1………………………(2)
(2)-(1)：8a+2b=0
即：b=-4a…………...

全部展开

f(x)=ax²+bx+c
应有a≠0
f(1)=a×1²+b×1+c=a+b+c
f(3)=a×3²+b×3+c=9a+3b+c
f(1)=f(3)=1
a+b+c=1…………………………(1)
9a+3b+c=1………………………(2)
(2)-(1)：8a+2b=0
即：b=-4a…………………………(3)
代入(1)，有：a-4a+c=1
解得：c=3a+1……………………(4)
f(x)=ax²-(4a)x+3a+1
f'(x)=2ax-4a
1、令：f'(x)＞0，即：2ax-4a＞0
解得：x＞2
2、令：f'(x)＜0，即：2ax-4a＜0
解得：x＜2
即：f(x)的单调增区间是x∈(2，∞)，单调减区间是x∈(-∞，2)
故：x=2时，f(x)取得极小值，极小值为：
f(2)=a×2²-(4a)×2+3a+1=1-a
已知：f(x)的极小值为-7
故：1-a=-7
解得：a=8
代入(3)、(4)得：b=-32、c=25
代入所给函数，得所求函数的解析式：
f(x)=8x²-32x+25

收起

由f(-1)=f（3）得-b/(2a)=(-1+3)/2=1
b=-2a
f(1)=a+b+c=-7
f(-1)=a-b+c=1
综上3式得到
a=2
b=-4
c=-5
解析式为f(x)=2x方-4x-5