已知函数f(x)是定义在实数集R上恒不为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x) 则f[f(5/2)]值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 05:01:12
已知函数f(x)是定义在实数集R上恒不为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x) 则f[f(5/2)]值为
已知函数f(x)是定义在实数集R上恒不为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x) 则f[f(5/2)]值为
已知函数f(x)是定义在实数集R上恒不为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x) 则f[f(5/2)]值为
题目中“恒不为零”应改为“不恒为零”
在恒等式xf(x+1)=(1+x)f(x),x∈R中,
令x=0,得f(0)=0；
当x≠0且x≠±1时,恒等式可化为f(x+1)/(x+1)=f(x)/x,
设F(x)= f(x)/x,则F(x+1)=F(x),即函数F(x)的周期为1；
又f(x)为偶函数,∴F(x)为奇函数；
由周期为1可知,F(5/2)=F(1+3/2)=F(3/2)=F(1+1/2)=F(1/2)=F(1-1/2)=F(-1/2),
即F(5/2)=F(1/2)= F(-1/2),
由F(x)为奇函数可知,F(-1/2)=F-(1/2),
∴F(5/2)=F(1/2)= F(-1/2)=0,即f(5/2)/(5/2)=0,
∴f(5/2)=0,f(f(5/2))=f(0)=0.
3/2*f(5/2)=5/2*f(3/2) => f(5/2)=5/3*f(3/2)
1/2*f(3/2)=3/2*f(1/2) => f(3/2)=3*f(1/2)
-1/2*f(1/2)=1/2*f(-1/2) f(x)为偶函数 f(1/2)=f(-1/2) => f(1/2)=0 => f(5/2)=0
-1*f(0)=0*f(-1) => f(0)=0
f[f(5/2)]=0
取X= --0.5 则有 --0.5*f(0.5)=0.5*f( --0.5)
又偶函数 则f(0.5)=f( --0.5)
两式联立 有f(0.5)=0
再取X=0.5 得f(1.5)=0
再取X=1.5 得f(2.5)=0
故f(f(2/5))=f(0)
再取X=0 则有0*f(1)=1*f(0) 得f(0)=0
故f(f(2/5))=0