已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a),（1）求函数f(x)的单调区间（2）求函数f(x)在闭区间[-1,1/2]上的最大值

已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a),（1）求函数f(x)的单调区间（2）求函数f(x)在闭区间[-1,1/2]上的最大值
已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a),（1）求函数f(x)的单调区间（2）求函数f(x)在闭区间[-1,1/2]上的最大值

已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a),（1）求函数f(x)的单调区间（2）求函数f(x)在闭区间[-1,1/2]上的最大值
1、设x2>x1>=0
f(x1)-f(x2)=x1^2-ax1-x2^2+ax2
=(x1-x2)(x1+x2)-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-a)
因为：x10 a0 ,x1+x2-a>0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-a)

显然f(x)的定义域为R

（1）若a=0，则f(x)=|x|x
当x≥0时f(x)=x^2，图象为开口向上、关于y轴对称、过原点抛物线右半支
当x<0时f(x)=-x^2，图象为开口向下、关于y轴对称、过原点抛物线左半支
易知f(x)在R上为增函数

若a<0，则f(x)=|x|(x-a)
当x≥0时f(x)=x^2-ax，图象...

全部展开

显然f(x)的定义域为R

（1）若a=0，则f(x)=|x|x
当x≥0时f(x)=x^2，图象为开口向上、关于y轴对称、过原点抛物线右半支
当x<0时f(x)=-x^2，图象为开口向下、关于y轴对称、过原点抛物线左半支
易知f(x)在R上为增函数

若a<0，则f(x)=|x|(x-a)
当x≥0时f(x)=x^2-ax，图象为开口向上、对称轴x=a/2在y轴左侧、过原点抛物线的y轴右侧部分
当x<0时f(x)=-x^2+ax，图象为开口向下、对称轴x=a/2在y轴左侧、过原点抛物线的y轴左侧部分
易知当x≤a/2与x≥0时f(x)为增函数
当a/2≤x≤0时f(x)为减函数

综上，若a=0，f(x)单调递增区间为(-∞,+∞)
若a<0，f(x)单调递增区间为(-∞,a/2]和[0,+∞)
f(x)单调递减区间为[a/2，0]

（2）若a=0，则f(x)=|x|x
因f(x)在R上为增函数
则f(x)max=f(1/2)=1/4

若a<0，则f(x)=|x|(x-a)
（i）当a/2<-1即a<-2时
f(x)max=max{f(-1),f(1/2)}=max{-1-a,1/4-a/2}
令-1-a=1/4-a/2
则a=-5/2
于是当-5/2≤a<-2时，f(x)max=1/4-a/2
当a<-5/2时，f(x)max=-1-a
（ii）当-1≤a/2<0即-2≤a<0时
f(x)max=max{f(a/2),f(1/2)}=max{a^2/4,1/4-a/2}
因-2≤a<0
则a^2/4≤1
而1/4-a/2≥5/4
显然1/4-a/2>a^2/4
所以当-2≤a<0时，f(x)max=1/4-a/2

综上，当-5/2≤a≤0时，f(x)max=1/4-a/2
当a<-5/2时，f(x)max=-1-a

收起

1）x>=0时，f(x)=x(x-a)=x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4, 对称轴为x=a/2<=0,故在x>=0时单调增
x<0时，f(x)=-x(x-a)=-x^2+ax=-(x-a/2)^2+a^2/4, 对称轴为x=a/2<=0, 当x<=a/2时，单调增；a/2综合得：单调增区间：x>=0及x<=a/2
单调减区间a/2

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1）x>=0时，f(x)=x(x-a)=x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4, 对称轴为x=a/2<=0,故在x>=0时单调增
x<0时，f(x)=-x(x-a)=-x^2+ax=-(x-a/2)^2+a^2/4, 对称轴为x=a/2<=0, 当x<=a/2时，单调增；a/2综合得：单调增区间：x>=0及x<=a/2
单调减区间a/2
2) 当a<-2时，在[-1,0）上单调减，f(-1)=-1-a, 在[0, 1/2]上单调增，f(1/2)=1/2*(1/2-a)=1/4-a/2
令f(-1)-f(1/2)=-1-a-1/4+a/2=-5/4-a/2>0,得： a<-5/2
即a<-5/2时，最大值为f(-1)=-1-a
-5/2=当-2=由f(a/2)-f(1/2)=a^2/4-1/4+a/2=a/4*(a+2)-1/4<0, 所以在[-1, 1/2]的最大值为f(1/2)=1/4-a/2

收起