求证:3^n+1(n为正整数)能被2或2^2整除,但不能被2的更高次幂整除

求证:3^n+1(n为正整数)能被2或2^2整除,但不能被2的更高次幂整除
求证:3^n+1(n为正整数)能被2或2^2整除,但不能被2的更高次幂整除

求证:3^n+1(n为正整数)能被2或2^2整除,但不能被2的更高次幂整除
当n=2m:3^n+1=(4-1)^2m+1=[4^(2m)+.-4(2m)+1]+1=8K+2,能被2整除,但不能被8整除.
当n=2m+1:3^n+1=(4-1)^(2m+1)+1=[4^(2m+1)+..+4(2m+1)-1]+1=8K+4,能被4整除,但不能被8整除.
因此结论成立.

由于n的奇偶性不能确定，故应分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，①若n=2k为偶数，k为正整数，由3k是奇数，（3k）2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设（3k）2=8a+1，再根据数的奇偶性进行判断即可；
②若n=2k+1为奇数，k为非负整数，可得出3n+1=3（8a+1）+1=4（6a+1），再根据6a+1的奇偶性即可进行判断．...

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由于n的奇偶性不能确定，故应分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，①若n=2k为偶数，k为正整数，由3k是奇数，（3k）2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设（3k）2=8a+1，再根据数的奇偶性进行判断即可；
②若n=2k+1为奇数，k为非负整数，可得出3n+1=3（8a+1）+1=4（6a+1），再根据6a+1的奇偶性即可进行判断．

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