如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论

如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论
如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为
P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论

如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论
连结AC、BD．
∵ PQ为△ABC的中位线,
∴ PQ =1/2AC．
同理 MN=1/2AC．
∴ MN=PQ,MN//PQ
∴ 四边形PQMN为平行四边形．
在△AEC和△DEB中,
AE＝DE,EC＝EB,∠AED＝60°＝∠CEB,
即 ∠AEC＝∠DEB．
∴ △AEC≌△DEB．
∴ AC＝BD．
∴ PQ＝1/2AC＝1/2BD＝PN．
∴ 四边形PQMN为菱形．
自己理解一下啊,我有事所以写得不详细,请原谅噢

为什么不连接AC然后用三角形中位线定理来整呢

▱PQMN为菱形．
证明：如图，连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ
∥
.
.
1
2
AC．
同理MN
∥
.
.
1
2
AC．
∴MN
∥
.
.
PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．<...

全部展开

▱PQMN为菱形．
证明：如图，连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ
∥
.
.
1
2
AC．
同理MN
∥
.
.
1
2
AC．
∴MN
∥
.
.
PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．
在△AEC和△DEB中，
AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB，
即∠AEC=∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC=BD．
∴PQ=
1
2
AC=
1
2
BD=PN
∴▱PQMN为菱形．

收起

连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
∴△AEC≌△DEB；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=1/2AC，
同理可证得：NP=1/2DB，QP=1/2AC，MQ=1/2BD，

全部展开

连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
∴△AEC≌△DEB；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=1/2AC，
同理可证得：NP=1/2DB，QP=1/2AC，MQ=1/2BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；
我的百分百对滴哦

收起

证明：∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于
1
2
AC
同理MN平行且等于
1
2
AC，PN平行且等于
1
2
BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形（7分）
由（1）△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=P...

全部展开

证明：∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于
1
2
AC
同理MN平行且等于
1
2
AC，PN平行且等于
1
2
BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形（7分）
由（1）△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四边形PQMN是菱形．（8分）
③如果四边形ABCD的面积为a，则四边形PQMN的面积是
1
2
a（9分）
∵PQ平行且等于
1
2
AC，∴S△PBQ=
1
4
S△ABC
同理S△DMN=
1
4
S△ACD
∴S△DMN+S△PBQ=
1
4
S四边形ABCD=
1
4
a
同理S△APN+S△CQM=
1
4
a
∴四边形PQMN的面积为S四边形PQMN=a-
1
4
a-
1
4
a=
1
2 a．

收起

连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
∴△AEC≌△DEB；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC，
同理可证得：NP= 1/2DB，QP=1/2AC，MQ=1/2BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

亲，求赞同，求留言，求评论，撒花，撒花~~~

△AEC和
DEB

是菱形 MN=EQ EN=QM 这不需要我解释了吧 只要证明EN=NM就可以了 因为是等边三角形 所以AB=AD 又因为AB=DC 所以EN=NM（可以用全等来证明） 综上所述 PQMN为菱形 希望可以帮助你解决问题 仅当参考

四边形PQMN是菱形
证明：连接AC、BD、NQ、MP
∵△DAE和△CEM都是等边三角形
∴ AE=DE CE=EB ∠CEB=∠DEA=60°
∴∠DEB=∠AEC=120°
在△AEC和△DEB中
AE=DE
∠AEC=∠DEB
EC=EB
∴△ACE≌△DBE
∴DB=AC
∵N、M是DA...

全部展开

四边形PQMN是菱形
证明：连接AC、BD、NQ、MP
∵△DAE和△CEM都是等边三角形
∴ AE=DE CE=EB ∠CEB=∠DEA=60°
∴∠DEB=∠AEC=120°
在△AEC和△DEB中
AE=DE
∠AEC=∠DEB
EC=EB
∴△ACE≌△DBE
∴DB=AC
∵N、M是DA、DC的中点
∴NM∥AC MN=1/2AC
同理
PQ∥AC PQ=1/2AC
NP∥DB NP=1/2DB
MQ∥DB MQ=1/2DB
∴MN=MQ=QP=NP
∴四边形PQMN是菱形

收起