已知向量ab,满足绝对值a=1,(a+b)·(a-2b)=0,则绝对值b的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:11:54
已知向量ab,满足绝对值a=1,(a+b)·(a-2b)=0,则绝对值b的最小值为
已知向量ab,满足绝对值a=1,(a+b)·(a-2b)=0,则绝对值b的最小值为
已知向量ab,满足绝对值a=1,(a+b)·(a-2b)=0,则绝对值b的最小值为
奥,楼上的计算好复杂
(a+b)·(a-2b)=|a|^2-2|b|^2-a·b=1-2|b|^2-|b|cos=0
可以看出|b|≠0,则：cos=(1-2|b|^2)/|b|,而：cos∈[-1,1]
即：-1≤(1-2|b|^2)/|b|≤1,解2个简单的不等式可得：
|b|∈[1/2,1],即|b|的最小值是：1/2
∵｜向量a｜＝1，∴可令向量a＝（cosA，sinA），向量b＝（m，n）。
∴向量a＋向量b＝（m＋cosA，n＋sinA），向量a－2向量b＝（cosA－2m，sinA－2n）。
依题意，有：（向量a＋向量b）·（向量a－2向量b）＝0，
∴（m＋cosA）（cosA－2m）＋（n＋sinA）（sinA－2n）＝0，
∴mcosA－2m^2＋（cosA）^2－2...
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∵｜向量a｜＝1，∴可令向量a＝（cosA，sinA），向量b＝（m，n）。
∴向量a＋向量b＝（m＋cosA，n＋sinA），向量a－2向量b＝（cosA－2m，sinA－2n）。
依题意，有：（向量a＋向量b）·（向量a－2向量b）＝0，
∴（m＋cosA）（cosA－2m）＋（n＋sinA）（sinA－2n）＝0，
∴mcosA－2m^2＋（cosA）^2－2mcosA＋nsinA－2n^2＋（sinA）^2－2nsinA＝0，
∴1－2（m^2＋n^2）－mcosA－nsinA＝0。
引入辅助角B，使cosB＝m/√（m^2＋n^2）、sinB＝n/√（m^2＋n^2），得：
1－2（m^2＋n^2）－√（m^2＋n^2）［cos（B＋A）］＝0，
∴1－2（m^2＋n^2）＝√（m^2＋n^2）［cos（B＋A）］。
∵－1≦cos（B＋A）≦1，∴－√（m^2＋n^2）≦1－2（m^2＋n^2）≦√（m^2＋n^2），
∴－｜向量b｜≦1－2｜向量b｜^2≦｜向量b｜。
令｜向量b｜＝x，则：－x≦1－2x^2≦x，∴2x^2－x－1≦0、且2x^2＋x－1≧0，
∴（2x＋1）（x－1）≦0、且（2x－1）（x＋1）≧0。
显然有：x≧0，∴x－1≦0、且2x－1≧0，∴x≦1、且x≧1/2。
∴x的最小值为1/2，即｜向量b｜的最小值为1/2。
收起