天体运动轨迹为椭圆时的力学方程应如何建立?我希望谁可以建立一个力学方程,而并不是单纯的用能量来列方程,另外,为什么天体运动的中心是椭圆的焦点?

天体运动轨迹为椭圆时的力学方程应如何建立?我希望谁可以建立一个力学方程,而并不是单纯的用能量来列方程,另外,为什么天体运动的中心是椭圆的焦点?
天体运动轨迹为椭圆时的力学方程应如何建立?
我希望谁可以建立一个力学方程,而并不是单纯的用能量来列方程,另外,为什么天体运动的中心是椭圆的焦点?

天体运动轨迹为椭圆时的力学方程应如何建立?我希望谁可以建立一个力学方程,而并不是单纯的用能量来列方程,另外,为什么天体运动的中心是椭圆的焦点?
机械能守恒和角动量守恒.
1/2*m*v1*v1 - GMm/r1 = 1/2*m*v2*v2 - GMm/r2
m*v1*r1 = m*v2*r2
v1,v2,r1,r2已知两个就可以求另外两个.
-------------------------------
力学方程对于求解天体运动的速度等情况并没有用.你仍然可以用牛顿力学中万有引力提供向心力列方程,这个方程对于求速度没有多大用处,一般的天体运动由上面两个方程求解就可以了.但对于证明你问的天体运动是椭圆轨道和中心天体在椭圆的焦点上还是有用的.以下的证明希望我写得简单易懂（一般用大写表示矢量,用小写表示对应的标量,G和a除外）,也有可能有错误哦:)
有太阳地球体系来说,比如万有引力提供向心力：
F = - GMm/|R|^2 * R/|R| = m * a
其中的 R 和 a 都是矢量,R 表示有太阳中心指向地球中心的径矢量,a 是向心加速度.|R|在这里当标量用,即 R 的大小记为 r.由于万有引力和R 方向相反,所以为负值.
这样 a = - GM/r^2 * R/r
由此可知加速度 a 的方向始终指向太阳.
所以 R 叉乘 a = 0
又由 R 对时间 t 的一次微分是速度 V ,R 对时间 t 的二次微分是加速度 a ,很容易得到 d ( R 叉乘 V ) / dt = 0,即 R 叉乘 V = 常数C.
这说明 R 和 V 是在和 C 垂直的平面上,即地球应该在一个过太阳中心且垂直于 C 的平面内运动.
以上是证明地球运动是平面运动,然后再证明轨迹是椭圆.
（上面还都挺好懂的吧,下面的就比较麻烦了哦:)）
以太阳为中心引入极坐标和直角坐标系,设地球在点 P （R,sita）
此时速度 V = dR/dt,加速度 a = dV/dt
为方便矢量计算,引入两个单位矢量Ur,Us.Ur是R方向的单位矢量,Us是垂直于R方向的单位矢量,即：
Ur = cos(sita)*i + sin(sita)*j
Us = -sin(sita)*i + cos(sita)*j
i和j可以看成分别是直角坐标XY轴的单位向量.sita是角度.
可以发现 d Ur / d sita = Us d Us / d sita = - Ur
这样 R = r * Ur (r在这里看成标量,r = |R|,R的大小)
V = dR / dt
= d (r * Ur) / dt
= dr/dt * Ur + dUr/dt * r
= dr/dt * Ur + dUr/dsita * dsita/dt *r
= r'* Ur + r * sita' * Us
'表示一次微分,r'= dr/dt,sita'= dsita/dt.
''表示二次微分哦（下面有用到）.
a = dV / dt
= d (r'* Ur + r * sita' * Us) / dt
= [r''- r * sita' * sita']*Ur + [r*sita''+ 2*r'*sita']*Us
由于前面推到过a的方向指向太阳,即a的方向为Ur的方向.所以Us前面的系数为0.即 a = [r''+ r * sita' * sita']*Ur
联系前面求得的 a = - GM/r^2 * R/r
由a大小相等则有（除去矢量部分）：r''- r * sita' * sita'= - GM/r^2 （式1）
前面有推到 R 叉乘 V = 常数C.有
R 叉乘 V
= (r*Us) 叉乘 (r'* Ur + r * sita' * Us)
= r * r'* ( Ur叉乘Ur ) + r * r * sita'*( Ur叉乘Us )
Ur叉乘Ur = 0.Ur与Us方向垂直,Ur叉乘Us = Uz （Uz为垂直于Ur,Us所在平面的单位向量,这个量只是表示方向,不影响大小）
所以 C = R 叉乘 V = r * r * sita'* Uz
C的大小 |C| = r * r * sita'
有前面推到的 V = dR / dt = r'* Ur + r * sita' * Us
在近日点,设近日点为初始条件（即t=0的时候,r = r0,sita = 0）,r'= 0,V0 = r0 * sita' * Us,V0的大小 v0 = |V0| = r0 * sita'
所以|C| = r0 * v0 （这个附带把开普勒第二定律证明出来了）
即 r * r * sita' = r0 * v0,
sita'= r0 * v0 / r^2,把这个式子带入（式1）得：
r''= - GM/r^2 + (r0*v0)^2 / r^3
积分得:
(r')^2 = 2GM( 1/r - 1/r0) + v0^2 * ( 1 - r0^2/r^2 ) （式2）
上式对t积分很麻烦,换一个积分变量,换为角度sita:
r'= dr/dt = dr/dsita * dsita/dt
= dr/dsita * sita' = dr/dsita * r0 * v0 / r^2
带入式2,积分得：r = (r0*v0)^2 / { r0*v0*v0 + 2GM[1-cos(sita)] }
变换一下,令 e = r0*v0*v0 / GM - 1 得
r = ( 1 + e ) * r0 / [ 1 + e * cos (sita) ]
上式即是极坐标中椭圆的方程,e 就是椭圆的偏心率.
呼呼,就是这么证明的……