高数定积分习题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:48:34
高数定积分习题高数定积分习题高数定积分习题证明令x=π-t,则x由0到π，t由π到0，dx=-dt则原式=-（区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt=-(区间π到0）∫(π-t)f(sin(
高数定积分习题
高数定积分习题
高数定积分习题
证明 令x=π-t,则x由0到π，t由π到0，dx=-dt
则原式=-（区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt
=-(区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(区间0到π）∫πf(sin(t)dt-（区间0到π）∫tf(sint)dt
全部展开
证明 令x=π-t,则x由0到π，t由π到0，dx=-dt
则原式=-（区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt
=-(区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt
=(区间0到π）∫πf(sin(t)dt-（区间0到π）∫tf(sint)dt
所以2*（区间0到π）∫tf(sint)dt=(区间0到π）∫πf(sin(t)dt
（π/2)∫{区间0到π}ft(sint)dt=(π/2)∫{区间0到π}f(sinx)dx
命题得证
解 用上一步证明有如下等式
（区间0到π）∫（xsinx）/（1+（cosx）^2）dx
=π/2*（区间0到π）∫sinx/（1+（cosx）^2）dx
=-π/2*（区间0到π）∫dcosx/（1+（cosx）^2）
=-π/2*arctan（cosx）|（区间0到π）
=π^2/4
收起