用红、蓝、白、三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线）,试证一定在同色的三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:57:54
用红、蓝、白、三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线）,试证一定在同色的三角形.
用红、蓝、白、三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线）,试证一定在同色的三角形.
用红、蓝、白、三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线）,试证一定在同色的三角形.
假设不存在同色三角形.
令这16个点分别是：
B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10、B11、B12、B13、B14、B15、B16、B17.
一、由B1引出的线段共有16条.
若同一颜色的线段最多为5条,则：
由B1引出的线段总数≦5（红）＋5（蓝）＋5（白）＝15（条）,不足16条,显然不合理.
那么由B1引出的16条线段中,一定有6条是同一颜色的（不失一般性地设为红色）.
不失一般性地设这6条线段分别是：B1B2、B1B3、B1B4、B1B5、B1B6、B1B7.
二、由B2向B3、B4、B5、B6、B7引出的线段共有5条.
这5条线段中,不能有红色的,否则这一线段就与点B1构成红色的三角形.
那么,在这5条线段中,一定有3条的同一颜色的（不失一般性地设为蓝色）.
不失一般性地设这3条线段分别是：B2B3、B2B4、B2B5.
三、现在考查线段B3B4、B3B5、B4B5的颜色.
1、显然不能同为白色,否则△B3B4B5为白色三角形.
2、若有一条是蓝色的,则这条线段与点B2就构成蓝色三角形.
3、若有一条是红色的,则这条线段就与点B1构成红色三角形.
综上一、二、三所述,假设不存在同色三角形是错误的.
∴在这17个点连成的三角形中,一定存在同色三角形.
考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.可不可以不设他为A1之类的，...
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考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.
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