如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 13:49:54
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.
猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
答：PE+PF=BH.
证明：过P作PG⊥BH于G点.
∵PG⊥BH,PF⊥AC,BH为AC边上高.
∴∠PFH=∠PGH=∠GHF=90°,∴四边形PGHF为矩形.
∴PF=GH,PG//AC.
∵AB=AC,∴∠EBP=∠C.
∵PG//AC,∴∠GPB=∠C.
∵∠EBP=∠C,∠GPB=∠C.∴∠GPB=∠EBP.
∵PE⊥AB.∴∠BGP=∠PEB=90°.
在△GPB和△EBP中,∠GPB=∠EBP,∠BGP=∠PEB=90°,BP=PB.
∴△GPB≌△EBP（AAS）,∴BG=PE.
∵PF=GH,BG=PE,BH=BG+GH,∴PE+PF=BH
PE+PF=BH
证明：
因为等腰三角形
所以角ABC=角C
角PEB=角PFC=90°
所以三角形PEB相似于三角形PFC
所以PE/PF=BP/PC (1)
因为PF//BH
所以PF/BH=PC/BC (2)
根据等式（1）*（2）
PE/BH=BP/BC=(BC-PC)/BC=1-PF/BH
=>BH=PE+PF
PE+PF=BH
过P作PD∥AC，且交AB与D、交BH与G
那么△DBP为等腰三角形，切BG⊥PD，则BG=PE
而四边形PGHF则是一个长方形，可得PF=GH
综上可得PE+PF=BG+GH=BH