一道有关向量和三角函数的题目向量a=(2cos(-A),2sin(-A)),向量b=(cos(90-A),sin(90-A)),向量a和向量b是垂直的,若存在不等于0的实数k和t,使x=a+（t^2-3）b,y=-ka+tb,满足向量x垂直向量y,求此时k+t^2/t的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:32:21
一道有关向量和三角函数的题目向量a=(2cos(-A),2sin(-A)),向量b=(cos(90-A),sin(90-A)),向量a和向量b是垂直的,若存在不等于0的实数k和t,使x=a+（t^2-3）b,y=-ka+tb,满足向量x垂直向量y,求此时k+t^2/t的最小值
一道有关向量和三角函数的题目
向量a=(2cos(-A),2sin(-A)),向量b=(cos(90-A),sin(90-A)),向量a和向量b是垂直的,若存在不等于0的实数k和t,使x=a+（t^2-3）b,y=-ka+tb,满足向量x垂直向量y,求此时k+t^2/t的最小值
这道题可能有点烦,但肯定不难,我不知道哪里卡牢了,拜托各位牛人花点力气做下,好的有加分,
一道有关向量和三角函数的题目向量a=(2cos(-A),2sin(-A)),向量b=(cos(90-A),sin(90-A)),向量a和向量b是垂直的,若存在不等于0的实数k和t,使x=a+（t^2-3）b,y=-ka+tb,满足向量x垂直向量y,求此时k+t^2/t的最小值
由题意：向量a=(2cos(-A),2sin(-A))=(2cosA,-2sinA)
向量b=(cos(90-A),sin(90-A))=(sinA,cosA)
向量x垂直向量y
则x*y=0
即 [a+(t^2-3)b]*(-ka+b)=0
化简得到：
-ka^2+(t^2-3)*t*b^2=0
因为a^2=|a|^2=4,b^2=|b|^2=1
所以 -4k+t^3-3t=0
所以k=(t^3-3t)/4
(k+t^2)/t=(t^3-3t)/4t +t
=t^2/4-t+3/4
=1/4(t^2-4t+4)-4)-3/4
=1/4*(t-2)^2-7/4
所以t=2时,最小值为-7/4
向量x乘向量y=-ka^2+(t^3-3t)b^2=-2k+t^3-3t=0解得k=(t^3-3t)/2带入k+t^2/t得f(t)={t^2+2t-3}/2={(t+1)^2-4}/2知t=-1时取最小值为-2
x=a+(t^2-3)b={[2cosA+(t^2-3)sinA]，[-2sinA+(t^2-3)cosθA}
y=-ka+tb={(-2kcosA+tsinA)，(2ksinA+tcosA)}
因为x垂直y，则：
[2cosA+(t^2-3)sinA](-2kcosA+tsinA)+[-2sinA+(t^2-3)cosA](2ksinA+tcosA)=0
化简得：...
全部展开
x=a+(t^2-3)b={[2cosA+(t^2-3)sinA]，[-2sinA+(t^2-3)cosθA}
y=-ka+tb={(-2kcosA+tsinA)，(2ksinA+tcosA)}
因为x垂直y，则：
[2cosA+(t^2-3)sinA](-2kcosA+tsinA)+[-2sinA+(t^2-3)cosA](2ksinA+tcosA)=0
化简得：[t(t^2-3)-4k][(cosθA)^2+(sinA)^2]=0
而(cosA)^2+(sinA)^2=1
所以：
t(t^2-3)-4k=0
即：k=t(t^2-3)/4
则：(k+t^2)/t=[t(t^2-3)/4+t^2]/t=(t^2-3)/4+t=[(t+2)^2-7]/4
有最小值，要求(t+2)^2=0，t=-2
因此(k+t^2)/t=[(t+2)^2-7]/4的最小值为-7/4。
收起
|向量a|=2，|向量b|=1，（向量a）*（向量b）=0，
向量x垂直向量y，得（向量x）*（向量y）=0。即-4k+t(t^2-3)=0,所以，（k+t^2）/t=（1/4）t^2+t-(3/4)=(1/4)[(t+2)^2-7]。也就是k+t^2/t的最小值
为-7/4。