三角形都有哪些心?都有什么特征
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:41:40
三角形都有哪些心?都有什么特征
三角形都有哪些心?都有什么特征
三角形都有哪些心?都有什么特征
1 外心 外接圆圆心,为三边中垂线交点 ,到三个顶点距离相等
2 内心 内切圆圆心,为三角角分线交点,到三边的距离相等
3 重心 三条中线的交点
4 垂心 三条高线的交点
5 旁心 一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等 一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外.
1.内心：设I为三角形的内心,BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K,则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a
利用性质：KI=KB=KC 还有相似三角形,角平分线定理即可搞定
2.外心：设三角形ABC的三条边长,外接圆半径,面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S
正弦定理啊.面积公式S=1/2absinC sinC=c/2R
3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..这个用解析法可以.还可以用复数,向量.
都是配方法.纯几何不知道
4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.
证明Euler线要用到的经典辅助线啊.
5.旁心：三角形ABC是三角形DEF的垂足三角形,且三角形DEF的外接圆半径R等于三角形ABC的直径2r（D.E.F为旁心）
去看看九点圆定理
6.设O,G,H,I分别为三角形ABC的外心,重心,垂心和内心,R,r分别为外接,内切圆半径,则
IO^2=R^2-2Rr(欧拉公式）
r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
第一个用圆幂定理+三角表示.两三步搞定
第二个用面积公式.再和差化积积化和差整理得
1.内心：设I为三角形的内心,BC=a,AC=b,AB=c,角A的平分线交BC于D,交ABC的外接圆于K,则AI/ID=AK/KI=IK/KD=b+c/a
2.外心：设三角形ABC的三条边长,外接圆半径,面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc/4S
3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小
4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.