椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0(1)求离心率e的取值范围.（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 04:27:44
椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0(1)求离心率e的取值范围.（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时
椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0
(1)求离心率e的取值范围.（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时椭圆方程.
椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0(1)求离心率e的取值范围.（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时
答案为：√2/2 =
F1M*F2M=0,说明向量F1M⊥F2M,则
F1M＾2＋F2M＾2＝4c^2
设点为M（x,y)则
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=4c^2
即x^2+y^2=c^2
又点在椭圆上故：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
两式联立,消去y:
b^2x^2+a^2(c^2-x^2)=a^2b^2
整理得：
c^2x^2=a^2(c^2-b^2)
x^2=a^2(c^2-b^2)/c^2=a^2(2c^2-a^2)/c^2
因为点M在椭圆上,所以0≤|x|≤a,
即0≤x^2≤a^2.
∴0≤a^2(2c^2-a^2)/c^2≤a^2
即2c^2-a^2 ≥0,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
2c^2 ≥a^2,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
e^2≥1/2,且2-1/e^2≤1
1/2≤e^2≤1
所以√2/2≤e<1.
【另法】
可以设椭圆上的一点M为(x,y),又因M在椭圆上,所以可以把y换成含有x的代数式,即M(x,[b√(a^2-x^2)]/a).
所以F1M=(x+c,[b√(a^2-x^2)]/a);
MF2=(c-x,-[b√(a^2-x^2)]/a);
又因根据条件：F1M*F2M=0 .
所以即：（x+c）*（c-x）-{[b√(a^2-x^2)]/a*[b√(a^2-x^2)]/a}=0(向量知识)
划简出来得：x^2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
又因M在椭圆上,所以x有取值范围,即-a=
在划简过程中把b^2换成a^2-c^2(椭圆性质）
最后得：2c^2-a^2>=0
同除a^2,为2*(c/a)^2-1>=0
即e^2>=1/2,所以e>=√2/2,e<=-√2/2(舍去）
再算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=
最后算的e^2<=1 ,即0
当离心率取得最小值时即 e=√2/2 .
又因在椭圆中b^2/a^2=1-e^2(你自己推一下）
所以带入e^2的值,得到:b^2=1/2*a^2
所以可设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/(1/2*a^2)=1
设P(x,y)为椭圆上的一点,
点N（0,3）到P的距离为：S=√x^2+(y-3)^2
把y^2用x^2代替(用你设的椭圆方程推出来) ,
即:S=√a^2-2y^2+(y-3)^2
配方,最后得S=√-(y+3)^2+a^2+18
所以当y=-3时有最大值
即5√2=√a^2+18
所以a^2=32 ,b^2=16
所以椭圆方程为x^2/32+y^2/16=1.
b<=c
a2-c2<=c2
a2-2c2<=0
1-e2<=0