P为椭圆X＾2／25＋Y＾2／9＝1上一点,F1,F2为左右焦点,若∠F1PF2＝120度,求△F1PF2的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:41:11
P为椭圆X＾2／25＋Y＾2／9＝1上一点,F1,F2为左右焦点,若∠F1PF2＝120度,求△F1PF2的面积
P为椭圆X＾2／25＋Y＾2／9＝1上一点,F1,F2为左右焦点,若∠F1PF2＝120度,求△F1PF2的面积
P为椭圆X＾2／25＋Y＾2／9＝1上一点,F1,F2为左右焦点,若∠F1PF2＝120度,求△F1PF2的面积
a=5,b=3,c^2=a^2-b^2=25-9=16,c=4
|有椭圆焦点三角形面积公式：S△F1PF2=b^2*tan(θ/2) 其中θ=∠F1PF2
∴ S=9*tan60°=9√3
证明：
对于焦点△F1PF2,设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
∴mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
即 mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)
分析：先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可． 由椭圆x^2/25+y^2/9=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4 ∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点， ∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8 在△...
全部展开
分析：先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可． 由椭圆x^2/25+y^2/9=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4 ∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点， ∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8 在△PF1F2中，cos∠F1PF2=|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2 / 2|PF1||PF2| =(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1||PF2|-|F1F2|^2 / 2|PF1||PF2| =10^2-2|PF1||PF2|-8^2 / 2|PF1||PF2|=36-2|PF1||PF2| / 2|PF1||PF2|=cos60°=1/2 ∴72-4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12 又∵在△F1PF2中，S△PF1F2=(1/2)*|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ∴S△PF1F2=(1/2)×12sin60°=3倍根号3 故答案为3倍根号3
收起
由椭圆x²/25+y²/9=1，知a=5，b=3，所以c=4，|F1F2|=2c=8，
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，所以m²+n²+2mn=100 ①，
在△F1PF2中，|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
即m²+n...
全部展开
由椭圆x²/25+y²/9=1，知a=5，b=3，所以c=4，|F1F2|=2c=8，
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，所以m²+n²+2mn=100 ①，
在△F1PF2中，|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
即m²+n²-2mncos120°=m²+n²+mn=64 ②，
①-②得mn=36，
所以△F1PF2的面积为S=mnsin120°/2=9√3。
收起