已知关于x的方程 ,X²-2bx+a-4b=0,其中ab为实数,对于任何实数b,此方程都有实数根,求a的取值范围

已知关于x的方程 ,X²-2bx+a-4b=0,其中ab为实数,对于任何实数b,此方程都有实数根,求a的取值范围
已知关于x的方程 ,X²-2bx+a-4b=0,其中ab为实数,对于任何实数b,此方程都有实数根,求a的取值范围

已知关于x的方程 ,X²-2bx+a-4b=0,其中ab为实数,对于任何实数b,此方程都有实数根,求a的取值范围
方程的判别式
4b²-4（a-4b）=4b²+16b-4a=4（b+2）²-4a-16
4（b+2）²≥0
所以-4a-16≥0
解得a≤-4

判别式=B^2-4AC=(-2b)^2-4*1*(a-4b)=4b^2-4a+16b=4(b+2)^2-4(a+4)≥0
b为任意实数，∴4(b+2)^2≥0
4(b+2)^2-4(a-4)≥0
∴4(a+4)≤0
∴a≤-4

方程有实数根
则有判别式大于等于0
也就是
4b^2 - 4(a-4b) >=0
=>
4b^2 - 4a + 16b >=0
=>
a<=b^2+4b = (b+2)^2 - 4
其中 (b+2)^2 - 4 >=-4
要使方程对于任意b有实数解
那么a要小于等于(b+2)^2 - 4的最小值
也就是

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方程有实数根
则有判别式大于等于0
也就是
4b^2 - 4(a-4b) >=0
=>
4b^2 - 4a + 16b >=0
=>
a<=b^2+4b = (b+2)^2 - 4
其中 (b+2)^2 - 4 >=-4
要使方程对于任意b有实数解
那么a要小于等于(b+2)^2 - 4的最小值
也就是
a <= -4
所以a的范围是
(-∞,-4]

收起

△＝(－2b)^2－4(a－4b)≥0
∴a≤b^2＋4b＝(b＋2)^2－4
故a的取值范围是a≤－4