奥数难题 是天才的进1)求证：(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck）^2=(an-bm)^2+(bk-cn)^2+(cm-ak)^22)若14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2,求证a:b:c=1:2:33）已知a、b、c、d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2001+b^2001=c^2001+d^20014)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 12:02:01
奥数难题 是天才的进1)求证：(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck）^2=(an-bm)^2+(bk-cn)^2+(cm-ak)^22)若14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2,求证a:b:c=1:2:33）已知a、b、c、d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2001+b^2001=c^2001+d^20014)
奥数难题 是天才的进
1)求证：(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck）^2=(an-bm)^2+(bk-cn)^2+(cm-ak)^2
2)若14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2,求证a:b:c=1:2:3
3）已知a、b、c、d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2001+b^2001=c^2001+d^2001
4)已知a+b+c=abc,求证：a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+c(1-a^2)(1-b^2)=4abc
5)已知a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3,求证a^2n+1+b^2n+1+c^2n+1=(a+b+c)^2n+1
6)设a、b、c都是正数,且a÷b+b÷c+c÷a=3,求证a=b=c
奥数难题 是天才的进1)求证：(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+k^2)-(am+bn+ck）^2=(an-bm)^2+(bk-cn)^2+(cm-ak)^22)若14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2,求证a:b:c=1:2:33）已知a、b、c、d满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2001+b^2001=c^2001+d^20014)
先证第三题
(a+b)^3=(c+d)^3
ab^2+a^2b=cd^2+c^2a
ab=cd
a^2+b^2=c^2+d^2
(a^n+b^n)(a+b)=a^(n+1)+b^(n+1)+ab[a^(n-1)+b^(n-1)]
(c^n+d^n)(a+b)=c^(n+1)+d^(n+1)+cd[c^(n-1)+d^(n-1)]
所以当[a^(n-1)+b^(n-1)]=[c^(n-1)+d^(n-1)]时
a^(n+1)+b^(n+1)=c^(n+1)+d^(n+1)
易推得结果
证毕
6）(a-b)/b+(b-c)/c+(c-a)/a=0
反证法
若a，b，c不相等设a>b>c>0
则(a-b)/b〉0 (b-c)/c〉0 (c-a)/a〈0
但是a／b ＞c／a所以(a-b)/b＞c-a)/a
可看出三者相加不为0所以a＝b＝c
好难呀