如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.（1）求证：PC垂直AB（2）求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 01:44:54
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.（1）求证：PC垂直AB（2）求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.
（1）求证：PC垂直AB
（2）求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
如图所示,在四面体P-ABC中,PA垂直BC,PB垂直AC,BC=a,PB=PC,P-BC-A是60度的二面角.（1）求证：PC垂直AB（2）求四面体P-ABC的体积 第1问麻烦详细点,
1、在平面ABC内作AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足,二高交于H,连结CH,交AB于F,则H是△ABC的垂心,CF⊥AB,连结PH,
∵PA⊥BC,AD⊥BC,AD∩PA=A,
∴BC⊥平面PAD,
∵PH∈平面PAD,
∴BC⊥PH,
同理AC⊥PH,
∵AC∩BC=C,
∴PH⊥平面ABC,
∵AB∈平面ABC,
∴PH⊥AB,
∵H是垂心,
∴CF⊥AB,
根据三垂线定理,
∴PC⊥AB.
（或者说明AB⊥平面PFC,PC∈平面,故AB⊥PC）.
2、还差一个条件.
（2）作AD⊥BC于D，
因为PA⊥BC,PB=PC,所以AB=AC，所以BD=CD，∠ADP=60°（二面角的度数）
在⊿PAD中，作PO⊥AD于O，易证PO即为高！
延长CO交AB于E，因为PC⊥AB，所以AB⊥面PCE，
所以CE⊥AB,⊿CDO∽⊿ADB，AD：BD=CD：OD，
AD=BD×CD÷OD（!）
Rt⊿POD中，PO=√3OD<...
全部展开
（2）作AD⊥BC于D，
因为PA⊥BC,PB=PC,所以AB=AC，所以BD=CD，∠ADP=60°（二面角的度数）
在⊿PAD中，作PO⊥AD于O，易证PO即为高！
延长CO交AB于E，因为PC⊥AB，所以AB⊥面PCE，
所以CE⊥AB,⊿CDO∽⊿ADB，AD：BD=CD：OD，
AD=BD×CD÷OD（!）
Rt⊿POD中，PO=√3OD
四面体P-ABC的体积
V=1/3×（1/2AD×BC）×PO
=1/3×1/2×（a/2）×（a/2）×a÷OD×√3OD
=√3a³/24。
结论：①本题中PO是不确定的，但体积与PO的大小无关。
②⊿PAD形状虽不定，但面积确定，亦可通过V=1/3×BC×S⊿pad的思路来求。
收起