如图,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D,求证:AD²=AC²+BD²
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/28 13:58:50
如图,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D,求证:AD²=AC²+BD²
如图,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D,求证:AD²=AC²+BD²
如图,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D,求证:AD²=AC²+BD²
证明:连接AM
在直角三角形ACM中
AM平方等于AC平方加CM平方(1)
在三角形ADM中,AD平方等于AM平方减去MD平方(2)
(1)式代入(2)式得
AD平方等于AC平方加CM平方减MD平方
在三角形BDM中
BD平方等于BM平方减MD平方,等于CM平方减MD平方(M为中点)(3)
奖(3)式代入(2)式得
AD²=AC²+BD²
BM*BC=BD*BA,
BM=BC/2,
BC^2/2=BD*(AD+BD)=BD^2+BD*AD,
根据勾股定理,BC^2=AB^2-AC^2,
[(AD+BD)^2-AC^2]/2=BD^2+BD*AD,
AD^2+2AD*BD+BD^2-AC^2=2BD^2+2BD*AD,
∴AD^2=AC^2+BD^2.
AD^2+DM^2=AM^2
DM^2+DB^2=MB^2
MB=CM
CM^2+AC^2=DM^2+DB^2+AC^2=AM^2=AD^2+DM^2
AD^2=AC^2+BD^2
根据勾股定理,AB2=AC2+BC2, 又因为AB=AD+BD。所以(AD+BD)2=AC2+BC2,展开并整理后得,AD2=AC2+BD2+(BC2-2AD*BD-2BD2).因此只需证明(BC2-2AD*BD-2BD2)等于零即可。
因为BC=2BM,同时,三角形BMD与三角形BAC相似,可以得到BD*BA=2BM2. 也就是证明4BM2-2AD*BD-2BD2=0,在合并下就可以了。...
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根据勾股定理,AB2=AC2+BC2, 又因为AB=AD+BD。所以(AD+BD)2=AC2+BC2,展开并整理后得,AD2=AC2+BD2+(BC2-2AD*BD-2BD2).因此只需证明(BC2-2AD*BD-2BD2)等于零即可。
因为BC=2BM,同时,三角形BMD与三角形BAC相似,可以得到BD*BA=2BM2. 也就是证明4BM2-2AD*BD-2BD2=0,在合并下就可以了。希望你可以采纳。
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