已知a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值为?

已知a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值为?
已知a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值为?

已知a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值为?
∵a＋b＋c＝1,∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋ac＋bc）＝1,又a^2＋b^2＋c^2＝3,
∴2（ab＋ac＋bc）＝1－3＝－2,∴ab＝－1－ac－bc＝－1－c（a＋b）.
由a＋b＋c＝1,得：a＋b＝1－c,∴ab＝－1－c（1－c）＝－1－c＋c^2.
由韦达定理可知：a、b是方程x^2＋（c－1）x－（1＋c－c^2）＝0的根,又a、b是实数,
∴（c－1）^2＋4（1＋c－c^2）≧0,∴c^2－2c＋1＋4＋4c－4c^2≧0,
∴3c^2－2c－5≦0,∴（3c－5）（c＋1）≦0,∴－1≦c≦5/3.
由ab＝－1－c＋c^2,得：abc＝－c－c^2＋c^3.
令y＝abc＝－c－c^2＋c^3.则：y′＝－1－2c＋3c^2.
令y′＝－1－2c＋3c^2＝0,得：（3c＋1）（c－1）＝0,∴c＝－1/3,或c＝1.
∴当c＜－1/3,或c＞1时,y′＞0；当－1/3＜c＜1时,y′＜0.
∴y在区间［－1,－1/3）和（1,5/3］单调递增,在区间（－1/3,1）单调递减.
∴y只能在c＝－1/3,或c＝5/3 时取得最大值.
当c＝－1/3 时,y＝－（－1/3）－（－1/3）^2＋（－1/3）^3＝9/27－3/27－1/27＝5/27.
当c＝5/3 时,y＝－5/3－（5/3）^2＋（5/3）^3＝－45/27－15/27＋125/27＝65/27.
∴y的最大值为 65/27,即：abc的最大值是 65/27.

x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
学过导数的话就好了求导，判断增...

全部展开

x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
学过导数的话就好了求导，判断增减-1《=z《=-1/3增 -1/3《z《1减1《=z《=5/3增
最后求得5/27
这是我以前做的把字母一换即可

收起