等腰三角形abc,角abc等于角acb等于80度.在ab上取一点d使ad等于bc,证明角bdc等于30最好说的详细一点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:56:04
等腰三角形abc,角abc等于角acb等于80度.在ab上取一点d使ad等于bc,证明角bdc等于30最好说的详细一点
等腰三角形abc,角abc等于角acb等于80度.在ab上取一点d使ad等于bc,证明角bdc等于30
最好说的详细一点
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这道题着实还有点不简单,我的解法主要应用到了三角函数和差化积、正弦定理,此外,我对三角形字母进行了大写,希望不会引起歧义.如果你是用手机浏览可能要悲剧了!~
设∠BDC＝θ, BC=AD=x, AB=AC=y, 则可得∠DCA=∠BDC-∠DCA=θ-20°
∵⊿ABC内 BC/sin∠BAC=AC/sin∠ABC, 即x/y=sin20°/sin80°=sin20°/cos10°
⊿ADC内 AD/sin∠DCA=AC/sin∠ADC, 即x/y=sin(θ-20°)/sin(180°-θ)=sin(θ-20°)/sinθ
∴sin20°/cos10°=sin(θ-20°)/sinθ
又∵sin20°=2sin10°cos10°
∴带入可得 2sin10°sinθ=sin(θ-20°)
[接下来的有点难度了,看清楚了]
等式左边 2sin10°sinθ=cos(θ-10°)-cos(θ+10°)
等式右边 sin(θ-20°)=sin(θ+10°-30°)=sin(θ+10°)cos30°-cos(θ+10°)sin30°=(3^1/2)/2 sin(θ+10°)-1/2 cos(θ+10°)
得到 cos(θ-10°)-cos(θ+10°)=(3^1/2)/2 sin(θ+10°)-1/2 cos(θ+10°)
即 cos(θ-10°)=(3^1/2)/2 sin(θ+10°)+1/2 cos(θ+10°)=cos60°cos(θ+10°)+sin60°sin(θ+10°)=cos(50°-θ)
∵∠BDC为锐角,
又∵根据cos(θ-10°)=cos(50°-θ)
∴θ-10°=50°-θ
∴θ=30°
即∠BDC=30°