已知x+y+z=1 x2+y2+z2=2 x3+y3+z3=3 求x4+y4+z4=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:43:51
已知x+y+z=1 x2+y2+z2=2 x3+y3+z3=3 求x4+y4+z4=?
已知x+y+z=1 x2+y2+z2=2 x3+y3+z3=3 求x4+y4+z4=?
已知x+y+z=1 x2+y2+z2=2 x3+y3+z3=3 求x4+y4+z4=?
（x+y+z）²-（x²+y²+z²）=2（xy+yz+zx）=-1,xy+yz+zx=-1/2
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=3xyz+1*（2-（-1/2））=3,xyz=1/6
（x2+y2+z2）²=x4+y4+z4-2x²y²-2y²z²-2x²z²=4,故x4+y4+z4=4+2（x²y²+y²z²+x²z²）
x²y²+y²z²+x²z²=（xy+yz+zx）²-2xyz（x+y+z）=（-1/2）²-2*1/6*1=-1/12
x4+y4+z4=4+2*（-1/12）=23/6
不清的话就追问.晚上好!
实数范围内没有解，可以通过后两个已知式用不等式验证。复数范围可以解
用韦达定理
记关于x，y，z的轮换式的和为[x],[x^2],[xy^2],[xyz]等等
比如，[x]=x+y+z, [x^2]=x^2+y^2+z^2, [xy^2]=xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x，依次类推
设x,y,z是方程 t^3-at^2+bt-c=0的三个根...
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实数范围内没有解，可以通过后两个已知式用不等式验证。复数范围可以解
用韦达定理
记关于x，y，z的轮换式的和为[x],[x^2],[xy^2],[xyz]等等
比如，[x]=x+y+z, [x^2]=x^2+y^2+z^2, [xy^2]=xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x，依次类推
设x,y,z是方程 t^3-at^2+bt-c=0的三个根，则a=[x],b=[xy],c=[xyz]
由方程有 [x^4]-a[x^3]+b[x^2]-c[x]=0, 而后三个轮换式是已知，只需要求出a,b,c的值，这可以通过已知求出
[x]^2=[x^2]-2[xy] ……解出[xy]=-1/2
[x]*[x^2]=[x^3]+[xy^2] ……[xy^2]=-1
[x]^3=[x^3]+3[xy^2]+6[xyz] ……解出[xyz]=1/6
所以 a=1 b=-1/2 c=1/6
带入得[x^4]=25/6
思路不难，计算量挺大
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（x+y+z）²-（x²+y²+z²）=2（xy+yz+zx）=-1，xy+yz+zx=-1/2
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=3xyz+1*（2-（-1/2））=3，xyz=1/6
（x2+y2+z2）²=x4+y4+z4-2x²y...
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（x+y+z）²-（x²+y²+z²）=2（xy+yz+zx）=-1，xy+yz+zx=-1/2
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=3xyz+1*（2-（-1/2））=3，xyz=1/6
（x2+y2+z2）²=x4+y4+z4-2x²y²-2y²z²-2x²z²=4，故x4+y4+z4=4+2（x²y²+y²z²+x²z²）
x²y²+y²z²+x²z²=（xy+yz+zx）²-2xyz（x+y+z）=（-1/2）²-2*1/6*1=-1/12
x4+y4+z4=4+2*（-1/12）=23/6
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