导函数存在第二类间断点为什么原函数依然可导?导函数存在第二类间断点那么fx左导数右导数至少一个不存在,因为fx可导的充要条件是左导、右导存在且相等.那么fx不就不可导了吗?请不要复
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 17:16:29
导函数存在第二类间断点为什么原函数依然可导?导函数存在第二类间断点那么fx左导数右导数至少一个不存在,因为fx可导的充要条件是左导、右导存在且相等.那么fx不就不可导了吗?请不要复
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为了解答你的疑问,需用到
1）若函数 f(x)在 [a,c] (或 [c,b]) 连续,在 (a,c) (或 (c,b)) 可导,且 lim(x→c-)f`(x) (或 lim(x→c+)f`(x))存在,则
f'(c-0) = lim(x→c-)f`(x) (或f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x)).
事实上,
f'(c-0) = lim(x→c-)[f(x)-f(c)]/(x-c) (0/0,用罗比达法则)
= lim(x→c-)f`(x).
2）以下用反证法证明：f'(x) 有间断点必是第二类的.
事实上,若函数 f(x) 在 (a,b) 可导,c∈(a,b) 是其第一类间断点,即 f'(c-0) 与 f'(c+0) 均存在,则由1）应有
lim(x→c-)f`(x) = f'(c-0) = f'(c+0) = lim(x→c+)f`(x),
即
f`-(c) = f`+(c) = f'(c),
得知 x=c 是 f'(x) 的连续点,矛盾.说明如果 f'(x) 有间断点一定是第二类的.