设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA困扰我一天了.求高手详解 追加分.后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 13:27:08
设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA困扰我一天了.求高手详解追加分.后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数

设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA困扰我一天了.求高手详解 追加分.后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点
设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA
困扰我一天了.求高手详解 追加分.
后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点

设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA困扰我一天了.求高手详解 追加分.后面答案提示说是要用到r(A)=1则A=αβT这个知识点
证:
∵rank(A)=1,A为n阶方阵
∴A =αβ'('表示转置)
∴A²=αβ'αβ'=α(β'α)β'
令k=β'α,∴A²=kαβ'=kA 结论得证!

因为r(A)=1,令α、β均为n×1的矩阵,那么A可以表示为αβT,
注意到βT为1×n的矩阵,
所以βTα为1×1的矩阵,可以表示为:βTα=k×(E1)。(其中k为常数,E1为一阶单位阵)

所以A^2=A×A=αβT×αβT=α×(βTα)×βT=α×(k×(E1))×βT=k×α×(E1))×βT(把常数k提取出来)
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因为r(A)=1,令α、β均为n×1的矩阵,那么A可以表示为αβT,
注意到βT为1×n的矩阵,
所以βTα为1×1的矩阵,可以表示为:βTα=k×(E1)。(其中k为常数,E1为一阶单位阵)

所以A^2=A×A=αβT×αβT=α×(βTα)×βT=α×(k×(E1))×βT=k×α×(E1))×βT(把常数k提取出来)
=k×(α×βT) (这里利用单位阵的性质:α×E1=α)
=kA
所以,得证。

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因为 r(A)=1 ,
因此 A 中至少有一列非零,不妨设第一列 α ≠ 0 ,
由于 r(A)=1 ,因此其余各列都可以写成 βi*α 的形式,其中 βi(i=2,3,。。。,n) 为实数 ,
则 A=(α,β2*α,β3*α,。。。,βn*α)=α*(1,β2,β3,。。。,βn) ,
取 β=(1,β2,β3,。。。,βn) ,
则 A=α*β 。这里...

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因为 r(A)=1 ,
因此 A 中至少有一列非零,不妨设第一列 α ≠ 0 ,
由于 r(A)=1 ,因此其余各列都可以写成 βi*α 的形式,其中 βi(i=2,3,。。。,n) 为实数 ,
则 A=(α,β2*α,β3*α,。。。,βn*α)=α*(1,β2,β3,。。。,βn) ,
取 β=(1,β2,β3,。。。,βn) ,
则 A=α*β 。这里,α 为列向量,β 为行向量,因此 β*α 为实数,设为 k ,
所以 A^2=(α*β)*(α*β)=α*(β*α)*β=k*α*β=kA 。命题得证。

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