设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 00:36:31
设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.因为A*A=A

设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.
设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.

设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n.
因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n;
又由R(A)+R(B)>=R(A+B);立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.