1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 23:01:17
1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
方程x2+2ax+b2=0的两根分别为x1 、x2
方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x2 、x3
x1+x2=-2a
x2+x3=-2c
x1.x2=b^2
x2.x3=-b^2 可以推出x3=-x1
a^2=（x1+x2)^2/4
b^2=x1.x2
c^2=(x2+x3)^2/4=(x2-x1)^2/4
计算得出a^2=b^2+c^2
所以角A=90o
证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2.
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）...
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证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2.
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）．
显然x1=x3，两方程有公共根．
必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，
则 m2+2am+b2=0 (1) m2+2cm-b2=0 (2)
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，
整理得a2=b2+c2．
所以A=90°．
故结论成立．
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