已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明：不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:10:23
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明：不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)
1)证明：不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交
2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m属于R)1)证明：不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
1.
l方程可以写为:
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
l必然过2x+y-7=0和x+y-4=0的交点,即P(3,1)这个点
而(3,1)是在圆内的
所以l必然与圆相交,得证
2.当圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直时,弦长有最短Lmin=2√(R^2-|OP|^2)=2√(25-5)=4√5
OP斜率(1-2)/(3-1)=-1/2
此时l的斜率=2,l方程y-1=2(x-3),即y=2x-5
直线过定点（3 1） m(2x+y-7)+(x+y_4)+0 分别让2x+y-7和x+y_4等于零 就可以得到定点了 然后带入圆的方程可得到 4+1<25 点在园内 第一个问题的证
后面的点到直线的距离求出来世r 半径是R 国点（3 1） 圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直弦长有最短4√5斜率1/2此时l的斜率=2,l方程y=2x-5...
全部展开
直线过定点（3 1） m(2x+y-7)+(x+y_4)+0 分别让2x+y-7和x+y_4等于零 就可以得到定点了 然后带入圆的方程可得到 4+1<25 点在园内 第一个问题的证
后面的点到直线的距离求出来世r 半径是R 国点（3 1） 圆心(1,2)与(3,1)的连线与l垂直弦长有最短4√5斜率1/2此时l的斜率=2,l方程y=2x-5
收起
答案：弦长=4根5。方程y=2x-5 详细解答如下图：
观察，直线恒过点（3,1）就是说把x=3,y=1代入直线得到一个恒等式，无论m取什么值。
然后将3,1代入圆得到，(3-1)^2+(1-2)^2-25<0，也就是说点(3,1)在圆内。一条直线恒过圆内一点自然与圆相交。
因为直线恒过点(3,1)且在圆内，那么连接圆心与该点，当连线与直线垂直时所得弦长最短。圆心为(1,2)所以，连线斜率为-1/2，那么也就是说直线斜率为2的时候即-(...
全部展开
观察，直线恒过点（3,1）就是说把x=3,y=1代入直线得到一个恒等式，无论m取什么值。
然后将3,1代入圆得到，(3-1)^2+(1-2)^2-25<0，也就是说点(3,1)在圆内。一条直线恒过圆内一点自然与圆相交。
因为直线恒过点(3,1)且在圆内，那么连接圆心与该点，当连线与直线垂直时所得弦长最短。圆心为(1,2)所以，连线斜率为-1/2，那么也就是说直线斜率为2的时候即-(2m+1)/(m+1)=2的时候满足条件。得出m=-3/4，代入便得直线方程为
-2x+y+5=0
因为连线是垂直平分该弦的，于是根据勾股定理得到r^2-d^2=(l/2)^2也就是说半径为斜边，d为圆心到弦的距离，l是弦长，因为d^2=(1-3)^2+(2-1)^2=5
r^2=25所以l=4sqrt(5)即4倍根号5
个人认为楼上解法过于繁琐，这类题灵活运用直线知识尤其是简单几何知识是非常好解的，整个题口算都行，如果要解方程可就很麻烦了。
收起