设a属于R,二次函数f(x)=ax²-2x-2a若f(x)>0的解集为A,且B=（1,3）,A∩B≠空集,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 00:08:10
设a属于R,二次函数f(x)=ax²-2x-2a若f(x)>0的解集为A,且B=（1,3）,A∩B≠空集,求实数a的取值范围
设a属于R,二次函数f(x)=ax²-2x-2a若f(x)>0的解集为A,且B=（1,3）,A∩B≠空集,求实数a的取值范围
设a属于R,二次函数f(x)=ax²-2x-2a若f(x)>0的解集为A,且B=（1,3）,A∩B≠空集,求实数a的取值范围
B=（1,
是B={1,3} ?
还是B={x|1<x<3} ?
我按后者做吧
因为f(x)是二次函数,所以a≠0
f(x)的根的判别式△=4+8a²>0,所以f(x)的图像与x轴一定有两个交点.
如果直接按A∩B≠Φ来算会很麻烦,那就反过来,求A∩B=Φ时a的取值范围,最终结果再反回去就行了.
1、若a>0,f(x)的图像开口向上,那么f(x)>0的解集为两根之外,f(x)的图像与区间（1,3）的位置关系有如图1—图6所示的6种情况,使A∩B=Φ,则只有第1种情况.由图可知
f(1)≤0且f(3)≤0,即
a-2-2a≤0且9a-6-2a≤0
联立这个不等式组并结合a>0解得
0<a≤6/7
2、若a<0,f(x)的图像开口向下,那么f(x)>0的解集为两根之内,f(x)的图像与区间（1,3）的位置关系也有如图7—图12所示的6种情况,使A∩B≠Φ,则只有第11、12两种情况.
令f(x)=ax²-2x-2a=0
解得图像与x轴的两个交点为x=[1±√(1+4a²)]/a
注意,因为a<0,所以两个根中,[1-√(1+4a²)]/a为大根,[1+√(1+4a²)]/a为小根.
使A∩B=Φ,则有
[1-√(1+4a²)]/a≤1或[1+√(1+4a²)]/a≥3
联立这个不等式组并结合a<0得
√(1+4a²)≤1-a或√(1+4a²)≤3a-1
因为a<0,所以后一个式子√(1+4a²)≤3a-1<0是不成立的,只有
√(1+4a²)≤1-a
两边平方并结合a<0解得
-2/3≤a<0
综上所述,A∩B=Φ时,a的取值范围为：0<a≤6/7或-2/3≤a<0,
反之,A∩B≠Φ时,a的取值范围为（保证a≠0）：a<-2/3或a>6/7
因为A∩B≠空集，求实数a的取值范围
所以 A的集合里没有 1和3
ax²-2x-2a＞0
因为当 x=1和x=3时，不成立
所以 当x=1和x=3时 ax²-2x-2a≤0
代入 a-1-2a≤0 a≥-1
9a-6-2a≤0 a≤6/7
a∈ [-1，6/7]